最大子段和
问题： 给定n个整数（可能为负数）组成的序列a[1],a[2],a[3],…,a[n],求该序列如a[i]+a[i+1]+…+a[j]的子段和的最大值。当所给的整均为
负数时定义子段和为0，依此定义，所求的最优值为： Max{0,a[i]+a[i+1]+…+a[j]},1<=i<=j<=n 例如，当（a[1],a[2],a[3],a[4],a[5],a[6]）=(-2,11,-4,13,-5,-2)时，最大子段和为20。 最大子段和是动态规划中的一种。
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分治法
编辑 算法描述如下 针对最大子段和这个具体问题本身的结构，我们还可以从算法设计的策略上对上述O(n^2)计算时间算法进行更进一步的改进。从问题的解结构也可以看出，它适合于用分治法求解。 如果将所给的序列a[1:n]分为长度相等的两段a[1:n/2]和a[n/2+1:n],分别求出这两段的最大子段和，则a[1:n]的最大子段和有三种情况： （1） a[1:n]的最大子段和与a[1:n/2]的最大子段和相同 （2） a[1:n]的最大子段和与a[n/2+1:n]的最大子段和相同 （3） a[1:n]的最大子段和为a[i]+…+a[j]，并且1<=i<=n/2，n/2+1<=j<=n。 对于（1）和（2）两种情况可递归求得，但是对于情况（3），容易看出a[n/2]，a[n/2+1]在最大子段中。因此，我们可以在a[1:n/2]中计算出s1=max(a[n/2]+a[n/2-1]+…+a[i]),0<=i<=n/2，并在a[n/2+1:n]中计算出s2= max(a[n/2+1]+a[n/2+2]+…+a[i])，n/2+1<=i<=n。则s1+s2为出现情况（3）的最大子段和。据此可以设计出最大子段和问题的分治算法如下： 时间复杂度：O（NlogN）
| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 | #include<stdio.h> #define MAX 100 int maxsub( int left, int right); int a[MAX]; int main() { inti; int count; scanf ( "%d" ,&count); for (i=0;i<count;i++) { scanf ( "%d" ,&a[i]); } printf ( "%d/n" ,maxsub(0,count-1)); return0; } int maxsub( int left, int right) { int center,i; int sum,left_sum,right_sum; int left_max,right_max; center=(left+right)/2; if (left==right)//此处重要，递归出口 if(A[left]>0) return a[left]; else return 0; else { left_sum=maxsub(left,center); right_sum=maxsub(center+1,right); sum=0; left_max=0; for (i=center;i>=left;i--) { sum+=a[i]; if (sum>left_max) left_max=sum; } sum=0; right_max=0; for (i=center+1;i<=right;i++) { sum+=a[i]; if (sum>right_max) right_max=sum; } sum=right_max+left_max; if (sum<left_sum) sum=left_sum; if (sum<right_sum) sum=right_sum; } returnsum; } |
动态规划法
编辑 在对于上述分治算法的分析中我们注意到，若记b[j]=max(a[i]+a[i+1]+..+a[j]),其中1<=i<=j,并且1<=j<=n。则所求的最大子段和为max b[j]，1<=j<=n。 由b[j]的定义可易知，当b[j-1]>0时b[j]=b[j-1]+a[j]，否则b[j]=a[j]。故b[j]的动态规划递归式为: b[j]=max(b[j-1]+a[j],a[j])，1<=j<=n。 代码如下： 时间复杂度：O(N)
| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 | #include <stdlib.h> #include<stdio.h> int main() { int count; int a[100]; int b[100]; int i; int max; scanf ( "%d" ,&count); for (i=0; i<count; i++) { scanf ( "%d" ,&a[i]); } b[0]=a[0]; max=b[0]; for (i=1; i<count; i++) { if (b[i-1]>0) b[i]=b[i-1]+a[i]; else b[i]=a[i]; if (b[i]>max) max=b[i]; } printf ( "%d\n" ,max); return 0; } |
联机算法： 常量空间，线性时间O(N)运行
int maxsubsequence(int array[],int n)
{
int thissum=0,maxsum=0;
for(int i=0;i<n;i++){
thissum+=array[i];
if(thissum<0)
thissum=0;
else if(thissum>maxsum)
maxsum=thissum;
}
return maxsum;
}
