SDNUOJ 1045 石子合并1(区间动态规划)

题目

描述
有N堆石子排成一排,每堆石子有一定的数量。现要将N堆石子并成为一堆。合并的过程只能每次将相邻的两堆石子堆成一堆,每次合并花费的代价为这两堆石子的和,经过N-1次合并后成为一堆。求出总的代价最小值。
输入
有多组测试数据,输入到文件结束。
每组测试数据第一行有一个整数n,表示有n堆石子。
接下来的一行有n(0< n <200)个数,分别表示这n堆石子的数目,用空格隔开
输出
输出总代价的最小值,占单独的一行

样例输入

3
1 2 3
7
13 7 8 16 21 4 18

样例输出

9
239

思路

如果该题没有要求相邻合并,那么该问题就是典型的哈夫曼编码思想,先把数量小的石子合并,数量大的石子最后合并,这样最后的代价就是最小的。对应的就是哈夫曼树的构建过程,该算法保证了二叉树的权值最优性。

但是题目特意要求了相邻合并,那么该问题变为为经典区间动态规划问题。区间动态规划问题的典型特征为:要求一个大区间的最优解,而大区间是由小区间组合而来,所以只要小区间为最优解,那么组成的大区间也必然为最优解。
比如我们要求[1,3]之间的最优合并,那么[1,3]可以有[1,1]和[2,3],或者[1,2]和[3,3]合并而来,所以只要求这两种情况最小值即可。 所以可以得出我们的状态转移方程为:

dp[i][j]=0,i=j d p [ i ] [ j ] = 0 , i = j


dp[i][j]=min{dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j]+sum[i,j]} d p [ i ] [ j ] = m i n { d p [ i ] [ j ] , d p [ i ] [ k ] + d p [ k + 1 ] [ j ] + s u m [ i , j ] }

上面sum[i,j]表示区间i到j的石子的数量总量。
因为合并石子的时候,代价 = 两个区间各自的代价 + 这两个区间石子的总量(也就是合并后,i到j的石子的总量)
显示这里有3层for循环,外层控制区间的长度,第二层控制区间的起始位置,最内层控制分割的位置即可。

代码

package com.special.NYOJ;

import java.util.*;
/** * Created by Special on 2018/5/31 8:34 */
public class NYOJ0737 {

    static final int MAX = (int) 1e6;

    public static void main(String[] args) {
        Scanner input = new Scanner(System.in);
        while(input.hasNext()){
            int n = input.nextInt();
            int[] num = new int[n + 1];
            int[] sum = new int[n + 1];
            int[][] dp = new int[n + 1][n + 1];
            for(int i = 0; i < n + 1; i++) {
                Arrays.fill(dp[i], MAX);
            }
            for(int i = 1; i <= n; i++){
                num[i] = input.nextInt();
                sum[i] = sum[i - 1] + num[i];
                dp[i][i] = 0;
            }
            int temp = 0;
            for(int len = 1; len < n; len++){
                for(int i = 1; i + len <= n; i++){
                    int j = i + len;
                    temp = sum[j] - sum[i - 1];
                    for(int k = i; k < j; k++){
                        dp[i][j] = Math.min(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k + 1][j] + temp);
                    }
                }
            }
            System.out.println(dp[1][n]);
        }
    }
}

拓展

  • 还有就是公式加括号跟这个四楼类似
  • 如果石子堆是围着一个圈呢,思路一样的。
    原文作者:动态规划
    原文地址: https://blog.csdn.net/dawn_after_dark/article/details/80519278
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