乘积最大问题——动态规划
题目来源
题目描述
今年是国际数学联盟确定的“2000――世界数学年”，又恰逢我国著名数学家华罗庚先生诞辰90周年。在华罗庚先生的家乡江苏金坛，组织了一场别开生面的数学智力竞赛的活动，你的一个好朋友XZ也有幸得以参加。活动中，主持人给所有参加活动的选手出了这样一道题目：
设有一个长度为N的数字串，要求选手使用K个乘号将它分成K+1个部分，找出一种分法，使得这K+1个部分的乘积能够为最大。
同时，为了帮助选手能够正确理解题意，主持人还举了如下的一个例子：
有一个数字串：312， 当N=3，K=1时会有以下两种分法：
1） 3*12=36
2） 31*2=62
这时，符合题目要求的结果是：31*2=62
现在，请你帮助你的好朋友XZ设计一个程序，求得正确的答案。
输入格式
程序的输入共有两行：
第一行共有2个自然数N，K（6≤N≤40，1≤K≤6）
第二行是一个长度为N的数字串。
输出格式
结果显示在屏幕上，相对于输入，应输出所求得的最大乘积（一个自然数）。
解题思路
- 创建二维数组 f[][] ,用 f[i][j] 表示前 i 位数包含 j 个乘号所能达到的最大乘积
- 将 i 从 2 到 n 枚举，表示分割为前i位数字
- 对每一次分割再次将 a 从 1 到 min(i-1,k) 枚举，表示前 i 位中含有 a 个乘号
- 将 b 从 a 到 i – 1 进行一次枚举，表示前 i 位中含有 a 个乘号，且最后一个乘号的位置在 b 处。那么当最后一个乘号在 b 处时最大值为前 b 位中含有 a – 1 个乘号的最大值乘上 b 处之后的数字
- 因此得出了状态转移方程 f[i][a] = max(f[i][a] , f[b][a-1] * cut(b + 1,i))
——（cut(b + 1,i) 表示 b + 1 到 i 位数字）
源代码
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
long long f[45][60];
string in;
int n,k;//n位数 k个乘号
long long g[45];
long long cut(int l,int r){
long long end = 0;
for(int i = l;i <= r;i++)
end = end * 10 + g[i];
return end;
}
int main(){
cin >> n >> k >> in;
for(int i = 1;i <= n;i++)
g[i] = in[i - 1] - '0';
for(int i=1;i<=n;i++)
f[i][0] = cut(1,i);
for(int i = 2;i <= n;i++){ //枚举分割为前i位数字
for(int a = 1;a <= min(i-1,k);a++){ //枚举有几个乘号
for(int b = a;b < i;b++){ //在第几位放乘号
f[i][a] = max(f[i][a],f[b][a-1] * cut(b + 1,i));
}
}
}
cout<<f[n][k];
return 0;
}