利用穷举法求解法插入4个乘号请访问：http://www.vcworld.net/bbs/viewthread.php?tid=8580&extra=
一、问题提出
在一个由n个数字组成的数字串中插入r个乘号（1<=r<n<16)，将它分成r+1个整数，找出一种乘号的插入方法，使得r+1个整数的乘积最大。
例如，对给定的数串847313926，如何插入r=5个乘号，使其积最大？
二、动态规划设计
对于一般插入r个乘号，采用穷举已不适合。注意到插入r个乘号是一个多阶段决策问题，应用动态规划来求解是适宜的。
1.建立递推关系
设f(i,k)表示在前i位数中插入k个乘号所得乘积的最大值，a(i,j)表示从第i个数字到第j个数字所组成的j-i+1(i<=j)位整数值。
为了寻求递推关系，先看一个实例：对给定的847313926，如何插入r=5个乘号，使其乘积最大？我们的目标是为了求取最优值f(9,5)。
①设前8个数字中已插入4个乘号，则最大乘积为f(8,4)*6；
②设前7个数字中已插入4个乘号，则最大乘积为f(7,4)*26；
③设前6个数字中已插入4个乘号，则最大乘积为f(6,4)*926；
④设前5个数字中已插入4个乘号，则最大乘积为f(5,4)*3926；
比较最大值即为f(9,5)。
依此类推，为了求f(8,4)：
①设前7个数字中已插入3个乘号，则最大乘积为f(7,3)*2；
②设前6个数字中已插入3个乘号，则最大乘积为f(6,3)*92；
③设前5个数字中已插入3个乘号，则最大乘积为f(5,3)*392；
④设前4个数字中已插入3个乘号，则最大乘积为f(4,3)*1392；
比较以上4个数值的最大值即为f(8,4)。
一般地，为了求取f(i,k)，考察数字串的前i个数字，设前j(k<=j<i)个数字中已插入k-1个乘号的基础上，在第j个数字后插入第t个乘号，显然此时的最大乘积为f(j,k-1)*a(j+1,i)。于是可以得递推关系式：
f(i,k)=max(f(j,k-1)*a(j+1, i)) (k<=j<i)
前j个数字没有插入乘号时的值显然为前j个数字组成的整数，因而得边界值为：
f(j,0)=a(1,j) (1<=j<=i)
为简单计，在程序设计中省略a数组，用变量d替代。
2.递推计算最优值
for (d = 0, j = 1; j <= n; j++) { d = d * 10 + b[j – 1]; // 输入数字串每一位赋值给b数组 f[j][0] = d; // 计算初始值f[j][0] } for (k = 1; k <= r; k++) { for (i = k + 1; i <= n; i++) for (j = k; j < i; j++) { for (d = 0, u = j + 1; u <= i; u++) d = d * 10 + b[u – 1]; // 计算d即为a(j+1,i) if (f[i][k] < f[j][k – 1] * d) // 递推求取f[i][k] f[i][k] = f[j][k – 1] * d; } }
3.构造最优解
为了能打印相应的插入乘号的乘积式，设置标注位置的数组t(k)与c(i,k)，其中c(i,k)为相应的f(i,k)的第k个乘号的位置，而t(k)标明第k个乘号“*”的位置，例如，t(2)=3，表示第2个“*”号在第3个数字后面。
当给数组元素赋值f(i,k)=f(j,k-1)*d时，作相应赋值c(i,k)=j，表示f(i,k)的第k个乘号的位置是j。在求得f(n,r)的第r个乘号位置t(r)=c(n,r)=j的基础上，其他t(k) (1<=k<=r-1)可应用下式逆推产生：
t(k)=c(t(k+1),k)
根据t数组的值，可直接按字符形式打印表面积所求得的插入乘号的乘积式。
三、程序实现
// 在一个数中插入r个乘号，使其积最大 // 利用动态规划求解 #include <stdio.h> #include <string.h> int main() { char numStr[16]; int i, j, k, len, u, r, b[16], t[16], c[16][16]; double f[17][17], d; printf(“请输入整数：”); scanf(“%s”, numStr); printf(“请输入插入的乘号个数r: “); scanf(“%d”, &r); len = strlen(numStr); if (len <= r) { printf(“输入的整数位够数不够或r太大!/n”); return 0; } printf(“在整数%s中插入%d个乘号，使乘积最大：/n”, numStr, r); for (d = 0, j = 0; j <= len – 1; j++) b[j] = numStr[j] – ‘0’; for (d = 0, j = 1; j <= len; j++) { d = d * 10 + b[j – 1]; // 把b数组的一个字符转化为数值 f[j][0] = d; // f[j][0]赋初始值 } for (k = 1; k <= r; k++) for (i = k + 1; i <= len; i++) for (j = k; j < i; j++) { for (d = 0, u = j + 1; u <= i; u++) d = d * 10 + b[u – 1]; if (f[i][k] < f[j][k – 1] * d) { f[i][k] = f[j][k – 1] * d; c[i][k] = j; } } t[r] = c[len][r]; for (k = r – 1; k >= 1; k–) t[k] = c[t[k + 1]][k]; // 逆推出第k个*号的位置 t[0] = 0; t[r + 1] = len; for (k = 1; k <= r + 1; k++) { for (u = t[k – 1] + 1; u <= t[k]; u++) putchar(numStr[u – 1]); // 输出最优解 if (k < r + 1) putchar(‘*’); } printf(“=%.0f/n”, f[len][r]); // 输出最优值 return 0; }
选自《趣味C程序集锦》
// 在一个数中插入r个乘号，使其积最大 // 利用动态规划求解 #include <stdio.h> #include <string.h> const int maxn = 41; int n[maxn], len; // nt…nz整数的合成 long nn(int t, int z) { int i; long a = n[t]; for (i = t + 1; i <= z; i++) a = a * 10 + n[i]; return a; } int main(void) { int i, N, c, k, t; long num, f[maxn][maxn]; char s[maxn]; scanf(“%d%d”, &N, &c); scanf(“%s”, s); len = strlen(s); for (i = 0; i < len; i++) n[i] = s[i] – ‘0’; k = 0; f[0][0] = n[0]; for (i = 1; i < len; i++) f[i][0] = f[i – 1][0] * 10 + n[i]; k = 1; for (k = 1; k <= c; k++) { for (i = k; i < len; i++) { long a = -1; for (t = k – 1; t < i; t++) { num = nn(t + 1, i); long b = f[t][k – 1] * num; if (a < b) a = b; } f[i][k] = a; } } printf(“%d/n”, f[len – 1][c]); return 0; }
选自《ACM/ICPC程序设计分析》
