子序列的定义：给定一个序列X=<x1,x2,…,xm>，另一个序列Z=<z1,z2,…,zk>，满足如下条件时称为X的子序列，
即存在一个严格递增的X的下标序列<i1,i2,…,ik>和所有的j=1,2,…,k，满足Zj=X[ik]下标序列，使得它们都相等。
如<B,C,D,B>是X=<A,B,C,B,D,A,B>的子序列。
给定两个序列X和Y,如果Z既是X的子序列，也是Y的子序列，我们称它是X和Y的公共子序列。
LCS问题：给定两个序列，求X和Y长度最长的公共子序列。
分析：LCS具有最优子结构性质，两个序列的LCS包含两个序列的前缀的LCS。
定义C[0,…,m][0,….,n]，m是X序列的长度，Y序列的长度是n。C[i][j]的含义是序列X[0,…,i-1]和序列Y[0,…,j-1]的LCS。
如果X[i-1]==Y[j-1]，则c[i][j]=c[i-1][j-1]+1；如果X[i-1]!=Y[j-1]，则序列X[0,…,i-1]和序列Y[0,…,j-1]的LCS有两种可能，
一种是序列X[0,…,i-2]和序列Y[0,…,j-1]的LCS，另一种是序列X[0,…,i-1]和序列Y[0,…,j-2]的LCS，两者取较大值。
即c[i][j]=max(c[i][j-1],c[i-1][j])。
下面是实现的过程：
// LCS.cpp : 定义控制台应用程序的入口点。
//最长公共子序列问题：给定两个序列X=和Y=,求X和Y的最长公共子序列。
#include "stdafx.h"
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
//c[i][j]表示X的前i个字符和Y的前j个字符所共有的序列长度；b[i][j]用来回溯得到的公共子序列
void LCS_LENGTH(string X,string Y,vector> & b,vector> & c)
{
int m=X.length(),n=Y.length();
for(int i=0;i<=m;i++)
c[i][0]=0;
for(int j=0;j<=n;j++)
c[0][j]=0;
int i,j;
for(i=1;i<=m;i++)
for(j=1;j<=n;j++)
if(X[i-1]==Y[j-1])
{
c[i][j]=c[i-1][j-1]+1;
b[i][j]=2;
}else if(c[i-1][j]>=c[i][j-1])
{
c[i][j]=c[i-1][j];
b[i][j]=1;
}else
{
c[i][j]=c[i][j-1];
b[i][j]=0;
}
}
//利用回溯和表b,追踪LCS
void PRINT_LCS(vector> & b, string X,int xlen, int ylen,string &s)
{
int i=xlen,j=ylen;
if(i==0||j==0)
return ;
if(b[i][j]==2)//此时第i个元素X[i-1][j-1]属于公共元素
{
PRINT_LCS(b,X,i-1,j-1,s);
s+=X[i-1];
}else if(b[i][j]==1)//上面有c[i][j]=c[i-1][j];此时回溯c[i-1][j]
PRINT_LCS(b,X,i-1,j,s);
else
PRINT_LCS(b,X,i,j-1,s);
}
int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
string X="ABCBDAB",Y="BDCABA";
int m=X.length(),n=Y.length();
vector> b(m+1), c(m+1);
string s;
for(int i=0;i<=m;i++)
{
b[i].resize(n+1);
c[i].resize(n+1);
}
LCS_LENGTH(X,Y,b,c);
PRINT_LCS(b,X,m,n,s);
cout<<"X:"<
它的时间复杂度是: O(m*n) 空间复杂度:O(m*n)
进一步优化：
动态规划解决LCS，一般要定义一个表c[0,…,m][0,…,n]，所用的空间复杂的是O(m*n)，其实这里表c的信息是冗余的。要想获得c[i][j]其实，只需根据c[i-1][j-1]，c[i][j-1]，c[i-1][j]中的信息获得即可。我们可以用O(m)或者O(n)的空间
就可以获得最长公共子序列的长度。我们这里定义一个数组a[m+1]，存储如图中绿色部分的信息，a[0]=c[i-1][j-1]，
当进行到比较X[i]与Y[j]时，我们要得到c[i,j]的值，它需要用到c[i-1][j-1],c[i][j-1]，c[i-1][j]，即a[0]，a[i]，a[i-1]。同时，它是新的a[i],如第二张图的红色部分所示。同时，原来a[0]里存储的数据用过后，再下一次循环就用不上了，a[0]也需要更新。然后，这次循环结束后，就形成了一个新的a数组。我们可以看到，它是从上到下，一列列的生成c[i][j]中的元素的。注意，当生成了一列结束，即j>=m时，开始新的外一层循环，此时，设置a[0]=0.
下面的代码在原有的基础增加了一个函数LCS(….)，用O(m+1)的空间获得LCS长度，这里没有恢复重构LCS中的元素。
// LCS.cpp : 定义控制台应用程序的入口点。
//最长公共子序列问题：给定两个序列X=和Y=,求X和Y的最长公共子序列。
#include "stdafx.h"
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
//这里对算法进行了优化,空间复杂度O(m+1)
void LCS(string X, string Y, vector & a)
{
int m=X.length(),n=Y.length();
for (int j = 1; j <= n; j++) {
a[0]=0;//内层循环结束,a[0]要置零，想象求a[1][j]所依赖的a[0][j-1]=0，即是初始化步骤
for (int i = 1; i <= m; i++) {
int pre=a[0];
int temp = a[i];
if (X[i - 1] == Y[j - 1])
a[i] =pre+1;
else a[i] = max(a[i],a[i-1]);
a[0]=temp;
}
}
}
//c[i][j]表示X的前i个字符和Y的前j个字符所共有的序列长度；b[i][j]用来回溯得到的公共子序列
void LCS_LENGTH(string X,string Y,vector> & b,vector> & c)
{
int m=X.length(),n=Y.length();
for(int i=0;i<=m;i++)
c[i][0]=0;
for(int j=0;j<=n;j++)
c[0][j]=0;
int i,j;
for(i=1;i<=m;i++)
for(j=1;j<=n;j++)
if(X[i-1]==Y[j-1])
{
c[i][j]=c[i-1][j-1]+1;
b[i][j]=2;
}else if(c[i-1][j]>=c[i][j-1])
{
c[i][j]=c[i-1][j];
b[i][j]=1;
}else
{
c[i][j]=c[i][j-1];
b[i][j]=0;
}
}
//利用回溯和表b,追踪LCS
void PRINT_LCS(vector> & b, string X,int xlen, int ylen,string &s)
{
int i=xlen,j=ylen;
if(i==0||j==0)
return ;
if(b[i][j]==2)//此时第i个元素X[i-1][j-1]属于公共元素
{
PRINT_LCS(b,X,i-1,j-1,s);
s+=X[i-1];
}else if(b[i][j]==1)//上面有c[i][j]=c[i-1][j];此时回溯c[i-1][j]
PRINT_LCS(b,X,i-1,j,s);
else
PRINT_LCS(b,X,i,j-1,s);
}
int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
string X="ABCBDABEF",Y="BDCABAEF";
int m=X.length(),n=Y.length();
vector> b(m+1), c(m+1);
string s;
for(int i=0;i<=m;i++)
{
b[i].resize(n+1);
c[i].resize(n+1);
}
LCS_LENGTH(X,Y,b,c);
PRINT_LCS(b,X,m,n,s);
cout<<"X:"< a(m+1);
LCS(X,Y ,a);
cout<