剪绳子(动态规划和贪婪算法)

题目:

把长度为n的绳子剪成m段(n>1,m>1),每段绳子的长度记为k[1],…k[m],则每段绳子的长度的最大乘积是多少?例如身子长度为8时,剪成2,3,3三段得到的乘积最大,为18。

思路:

方法1:动态规划的思想

假设长度为n的绳子被剪成若干段后,各段长度的最大乘积为f(n)。一刀下去可能的位置有1,2,…,n-1,j将绳子分为长度为i和n-i的两段,则f(n)=max{f(i)*f(n-i)},i=1,2,…,n-1。从上往下递归时可能会有很多重复的计算,因此采用从下往上的方式,先计算f(2),f(3),后面的就可以依次计算了。n=2时,只有一种剪法,f(2)=1*1=1,n=3时,只有剪成1,2,f(3)=1*2=2*1=2。

写代码要注意:n=2时,因为必须要剪一刀,只能剪成1和1,所以最大乘积是1,但是初始化f(2)的时候,是为了计算n>3的情况,因此如果有长度为2的肯定至少剪了一刀,这时候长度为2的最大乘积是2,初始化f(3)也是同理。

方法2:贪婪算法的思想

如果按照如下策略来剪绳子,则得到各段绳子的长度的乘积将最大。当n>=5时,尽可能多剪长度为3的绳子,当剩下绳子长度为4时,剪成2*2的两段。

写代码要注意:整除3后余数只有0,1,2三种情况,如果是2,那应该直接2*3^(timeOf3);如果是1,说明多剪了一个3,应该应该拿出来一个3(timeOf3-1)和剩下的1组成4,结果是4*3(timeOf3);如果是0,说明正好每段为3剪完,结果是1*3^(timeOf3)。

方法1代码:

int maxProduct(int n)
{
    if(n<=1)
        return 0;
    int *dp=new int[n+1];
    if(n==2)
        return 1;
    if(n==3)
        return 2;
    //注意这里的初始化
    dp[0]=0;
    dp[1]=1;
    dp[2]=2;
    dp[3]=3;
    for(int i=4;i<=n;i++)
    {
        int maxP=0;
        for(int j=1;j<=i/2;j++)
        {
            int product=dp[j]*dp[i-j];
			if(product>maxP)
				maxP=product;
        }
        dp[i]=maxP;
    }
	int result=dp[n];
    delete[] dp;
    return result;
}
            

方法2代码:

int maxProduct(int n)
{
    if(n<=1)
        return 0;
    if(n==2)
        return 1;
    if(n==3)
        return 2;
    if(n==4)
        return 4;
    int timeOf3=n/3;
	int result=n-timeOf3*3;//余数
    //注意不同余数情况下的处理
	if(result==0)
		result=1;
    if(n-timeOf3*3==1)
    {
        timeOf3-=1;
		result=4;
    }
    for(int i=1;i<=timeOf3;i++)
    {
        result=result*3;
    }
    return result;
}

 

    原文作者:动态规划
    原文地址: https://blog.csdn.net/u012991043/article/details/82048417
    本文转自网络文章,转载此文章仅为分享知识,如有侵权,请联系博主进行删除。
点赞