动态规划

动态规划在wiki上的定义：

dynamic programming is a method for solving a complex problem by breaking it down into a collection of simpler subproblems, solving each of those subproblems just once, and storing their solutions – ideally, using a memory-based data structure. The next time the same subproblem occurs, instead of recomputing its solution, one simply looks up the previously computed solution。

昨天接触到了动态规划的概念，研究了昨天一晚上以及今天一上午，总算对这个问题有些收获。
动态规划背后的基本思想非常简单。大致上，若要解一个给定问题，我们需要解其不同部分（即子问题），再合并子问题的解以得出原问题的解。
从空集合开始，每增加一个元素就求它的最优解，直到所有元素加进来，就得到了总的最优解。

01背包问题

01背包问题即的01即每件物品最多放1件，否则不放入。
让我真正了解动态规划概念的是mu399的博客

问题：有编号分别为a,b,c,d,e的五件物品，它们的重量分别是2,2,6,5,4，它们的价值分别是6,3,5,4,6，现在给你个承重为10的背包，如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和？

重新定义问题：

1. 有承重分别为1-10的背包10个
2. 编号分别为a,b,c,d,e的物品各一个

3. 从e物品开始依次放入1-10个背包，分别得到最大的价值总和
4. 把d物品放入依次放入存在e物品的1-10个背包，如果价值更高，替换掉e（）
5. c,b,a同理。。。

思路：
1. 01背包的状态转换方程 f[i,j] = Max{f[i-1,j-Wi]+Pi( j >= Wi ), f[i-1,j] }

f[i,j]：在前i件物品中选择若干件放在承重为 j 的背包中，可以取得的最大价值。
Pi表示第i件物品的价值。
决策：为了背包中物品总价值最大化，第 i件物品应该放入背包中吗 ？
2. 以a8（行为a，列为的8的单元格）举例
f[i,j] = a8 = 15
f[i-1,j] = b8 = 9
f[i-1,j-Wi] 表示我有一个承重为6的背包（等于当前背包承重减去物品a的重量），当只有物品b,c,d,e四件可选时，这个背包能装入的最大价值
f[i-1,j-Wi] +Pi =b(8 – 2) + 6 = b6 + 6 = 15

背包的java代码实现

public class getPgAnswer{

    @Test
    public void testPackage() {

        Package[] pg =  {new Package("e",4,6),
                         new Package("d",5,4),
                         new Package("c",6,5),
                         new Package("b",2,3),
                         new Package("a",2,6)
                         };
        // 第一个参数表示从pg[0]开始依次放入的物品，
        // 第二个参数代表背包的承重,放弃第0列数组
        int[][] state = new int[pg.length][11];
        int newValue = 0;

        /** * 01背包的状态转换方程 * f[i,j] = Max{ * f[i-1,j-Wi]+Pi( j >= Wi ), * f[i-1,j] } */
        for (int i = 0; i < pg.length; i++) {
            // 背包的承重量
            for (int j = 1; j < state[i].length; j++) {
                if (i == 0) {
                    if (pg[i].getWeight() <= j) {
                        state[i][j] = pg[i].getValue();
                    }
                }else{
                    state[i][j] = state[i - 1][j];
                    if (j < pg[i].getWeight()) {
                        continue;
                    }
                    newValue = state[i - 1][j - pg[i].getWeight()]
                            + pg[i].getValue();
/* if (newValue >= state[i - 1][j]) { state[i][j] = newValue; }else{ state[i][j] = state[i - 1][j]; }*/
                    state[i][j] = Math.max(newValue, state[i - 1][j]);
                }
            }
        }
        for (int i = 0; i < state.length; i++) {
            System.out.println(Arrays.toString(state[state.length - 1 - i]));
        }
    }
}

class Package {

    private String name;

    private int weight;

    private int value;

    public Package(String name,int weight,int value){
        this.name = name;
        this.weight = weight;
        this.value = value;
    }

    public String getName() {
        return name;
    }

    public int getWeight() {
        return weight;
    }

    public int getValue() {
        return value;
    }
}

背包的Python实现

""" 问题：有编号分别为a,b,c,d,e的五件物品，它们的重量分别是2,2,6,5,4，它们的价值分别是6,3,5,4,6， 现在给你个承重为10的背包，如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和？ 思路：dynamic programming 即把整个问题分解成一系列子问题，所有子问题只计算一次并存起来，下一次相同问题出现，直接从数据结构中取出结果，而不是再次计算 K(i, j) = max(K(i - 1, j), K(i - 1, j - Wi) + Pi) 其中 j >= Wi f[i,j]：在前i件物品中选择若干件放在承重为 j 的背包中，可以取得的最大价值。 Pi表示第i件物品的价值。 决策：为了背包中物品总价值最大化，第 i件物品应该放入背包中吗 """


def package(n, c, weight, values):
    """ 构建背包问题二维表 :param n: 物品数量 :param c: 背包重量容积 :param weight: 物品重量列表 :param values: 物品价值列表 :return: """
    # 初始化二维列表
    res = [[-1 for j in range(c + 1)] for i in range(n + 1)]
    res[0] = [0 for i in range(1, c + 1)]


    # 完善背包
    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(1, c + 1):
            if i == 1:
                res[1][j] = values[1] if j >= weights[1] else 0
            else:
                res[i][j] = res[i - 1][j]
                if weights[i] < j and res[i - 1][j - weights[i]] + values[i] > res[i][j]:
                    res[i][j] = res[i - 1][j - weights[i]] + values[i]
                # @Note：如果没有上面的res[0] = [0 for i in range(1, c + 1)] 需要增加下面的判定
                # elif weights[i] == j and values[i] > res[i][j]:
                # res[i][j] = values[i]
    return res


if __name__ == '__main__':
    # 物品数量
    n = 5
    # 背包重量容积
    c = 10
    # 物品重量列表 weights[0] 无效 和blog有区别 博客是倒着放入商品
    weights = [-1, 2, 2, 6, 5, 4]
    # 物品价值列表 values[0] 无效
    values = [-1, 6, 3, 5, 4, 6]
    res = package(n, c, weights, values)