动态规划从入门到精通(一)-入门篇

大三的春招,由于自己的不足,过得十分艰难。在各大公司的笔试题中,动态规划是一个必考点。突然冒出一个想法,写一个“动态规划从入门到精通”系列,与各大网友一起交流学习。

学习动态规划,愚认为,就是解决以下的三个问题:
什么是动态规划?什么时候要用动态规划?怎么使用动态规划?

让我们一个一个来解决!

1、什么是动态规划?
这里参考百度百科,动态规划是求解决策过程最优化的数学方法。把多阶段过程转化为一系列单阶段问题,利用各阶段之间的关系,逐个求解,创立了解决这类过程优化问题的新方法——动态规划。

2、什么时候要用动态规划?
如果要求一个问题的最优解(通常是最大值或者最小值),而且该问题能够分解成若干个子问题,并且小问题之间也存在重叠的子问题,则考虑采用动态规划。

3、怎么使用动态规划?
我把下面称为动态规划五部曲:
1. 判题题意是否为找出一个问题的最优解
2. 从上往下分析问题,大问题可以分解为子问题,子问题中还有更小的子问题
3. 从下往上分析问题 ,找出这些问题之间的关联(状态转移方程)
4. 讨论底层的边界问题
5. 解决问题(通常使用数组进行迭代求出最优解)

纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行。举几个例子:
例子1:
剑指Offer(第二版)面试题14:剪绳子
给你一根长度为n的绳子,请把绳子剪成m段 (m和n都是整数,n>1并且m>1)每段绳子的长度记为k[0],k[1],…,k[m].请问k[0]k[1]…*k[m]可能的最大乘积是多少?

例如,当绳子的长度为8时,我们把它剪成长度分别为2,3,3的三段,此时得到的最大乘积是18.
看完题目,我们按照上面提到的“动态规划五部”解决问题
1、判题题意是否为找出一个问题的最优解
看到字眼是“可能的最大乘积是多少”,判断是求最优解问题,可以用动态规划解决;

2、从上往下分析问题,大问题可以分解为子问题,子问题中还有更小的子问题
题目中举了个例子:当绳子的长度为8时,我们把它剪成长度分别为2,3,3的三段,此时得到的最大乘积是18;我们可以从这里开始突破,把长度为8绳子的最大乘积分解为数个子问题,长度为8我们可以把它看成长度为1和7的绳子的和,或者长度 为2和6的绳子的和,或者长度为3和5的绳子的和and so on!
到这里,相信大家已经看到一丝真理了吧?

3. 从下往上分析问题 ,找出这些问题之间的关联(状态转移方程)
在第二点时,我们已经从上到下分析问题了,现在我们要从下往上分析问题了。分析可知,
f(8) 的值就是f(1)*f(7),f(2)*f(6),f(3)*f(5),f(4)*f(4)它们之中的最小值,即f(8) = Max{f(1)*f(7),f(2)*f(6),f(3)*f(5),f(4)*f(4)}
只要知道f(1)到f(7)的值就能求出f(8);对于f(7),只要知道f(1)到f(6)的值就能求出f(6);对于f(6),只要知道f(1)到f(5)的值就能求出f(6);以些类推,我们只要知道前几个边界的值,就能一步步迭代出后续的结果!
状态转移方程: f(n)=Max{f(n-i)*f(i)} i={1,2,3,…,n/2}

4. 讨论底层的边界问题
底层的边界问题说的就是最小的前几个数值的f(n)的值,本题中就是f(0)、f(1)、f(2)、f(3)的值
对于f(0),长度为0的绳子,没办法剪,没有意义
对于f(1),长度为1的绳子,没办法剪,设为1
对于f(2),长度为2的绳子,只有一种剪法,剪成两段长度为1的绳子,但剪后的乘积为1,比自身更小;如果不是求自身的值,要求乘积最大值的话就没必要剪。
对于f(3),长度为3的绳子,只有一种剪法,剪成两段长度为1和2的绳子,但剪后的乘积为2,比自身更小;如果不是求自身的值,要求乘积最大值的话也没必要剪。

5、解决问题
这一部就是写代码了

public static int cutting(int n) {
        //长度小于等等于1没办法剪
        if(n <= 1)
            return 0;
        //对于f(2),长度为2的绳子,只有一种剪法,剪成两段长度为1的绳子,剪后的乘积为1
        if(n == 2)
            return 1;
        //对于f(3),长度为3的绳子,只有一种剪法,剪成两段长度为1和2的绳子,但剪后的乘积为2
        if(n == 3)
            return 2;
        int max = 0;
        //数组用于存储绳子乘积最大值
        int value[] = new int[n + 1];
        value[0] = 0;
        value[1] = 1;
        //剪后的乘积为1,比自身更小;如果不是求自身的值,要求乘积最大值的话就没必要剪
        value[2] = 2;
        //剪后的乘积为2,比自身更小;如果不是求自身的值,要求乘积最大值的话也没必要剪
        value[3] = 3;
        //从f(4)开始迭代
        for(int i = 4;i <= n; i++) {
            max = 0;
            for(int j = 1;j <= i/2; j++) {
                int val = value[j] * value[i - j];
                max = val > max ? val : max;
            }
            value[i] = max;
        }
        max = value[n];
        return max;
}

对于刚学习动态规划的同学,看完上面那题会有点吃力吧?那我们再来一题简单的,给大家增加信心!

例子2:
跳台阶问题
一只青蛙一次可以跳上1级台阶,也可以跳上2级台阶。求该青蛙跳上一个n级台阶总共有多少种跳法。

1、判题题意是否为找出一个问题的最优解
这个我还真的看不出,直觉判断这题可以通过动态规划迭代出来….有经验的网友可以分享下看法,指导一下本小白白。

2、从上往下分析问题,大问题可以分解为子问题,子问题中还有更小的子问题
题目中没有给粟子,我们可以自己举点粟子。例如,跳上一个6级台阶台阶,有多少种跳法;由于青蛙一次可以跳两阶,也可以跳一阶,所以我们可以分成两个情况
1、青蛙最后一次跳了两阶,问题变成了“跳上一个4级台阶台阶,有多少种跳法”
2、青蛙最后一次跳了一阶,问题变成了“跳上一个5级台阶台阶,有多少种跳法”
由上可得f(6) = f(5) + f(4);
由此类推,f(4)=f(3) +f(2)

3.、从下往上分析问题 ,找出这些问题之间的关联(状态转移方程)
跟上面的例题一相同,可以由f(1)逐渐迭代上去
由2可得,状态转移方程为:f(n)=f(n-1)+f(n-2)

4、边界情况分析
跳一阶时,只有一种跳法,所以f(1)=1
跳两阶时,有两种跳法,直接跳2阶,两次每次跳1阶,所以f(2)=2
跳两阶以上可以分解成上面的情况

5、解决问题

public static int jump(int n) {
        //无意义的情况
        if(n <= 0)
            return 0;
        if(n == 1)
            return 1;
        if(n == 2)
            return 2;
        //数组用于存储跳n阶的跳法数
        int[] value = new int[n + 1];
        value[0] = 0;
        value[1] = 1;
        value[2] = 2;
        for(int i = 3; i <= n; i++) {
            value[i] = value[i - 1] + value[i - 2];
        }
        return value[n];
}

参考资料
百度百科——动态规划
《面试–动态规划》 —五种经典的算法问题——https://blog.csdn.net/tongxinzhazha/article/details/77407648
《剑指Offer(第二版)》(何海涛著)

    原文作者:动态规划
    原文地址: https://blog.csdn.net/weixin_38278878/article/details/80037455
    本文转自网络文章,转载此文章仅为分享知识,如有侵权,请联系博主进行删除。
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