01背包问题

给定N种物品和一个背包。物品i的重量是Wi,其价值位Vi ，背包的容量为M。问应该如何选择装入背包的物品，使得转入背包的物品的总价值为最大？？

在选择物品的时候，对每种物品i只有两种选择，即装入背包或不装入背包。不能将物品i装入多次，也不能只装入物品的一部分。因此，该问题被称为0-1背包问题。

思路：用V(i,j)表示将前i种物品放入容量为j的背包中能得到的最大价值，则 V(i,0) = V(0,j) = 0。对于第i种物品，有装入和不装入2种情况。当Wi > j时，背包容量不足，只能选择不装入。此时V(i,j) = V(i-1,j)。当Wi <= j时，此时需要统计装入和不装入第i种物品这两种情况下的价值，最后取较大者作为V(i,j)的值。此时V(i,j) = max{V(i-1,j)，V(i-1,j-Wi)+Vi}。综上，可以列出状态转换方程为

V(i-1,j) ，Wi > j，1 <= i <= N

V(i,j) = {

max{ V(i-1,j)，V(i-1,j-Wi)+Vi } ，Wi <= j <= M，1 <= i <= N

题目描述

有编号分别为a,b,c,d,e的五件物品，它们的重量分别是2,2,6,5,4，它们的价值分别是6,3,5,4,6。现在给你个承重为10的背包，如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和？

思路：首先构造一个二维数组V[m][n],m = #{a,b,c,d,e}+1,n = 10+1.然后初始化v[i][0] = v[0][j] = 0(0 <= i < m ,0 <= j < n)。再根据上面的状态转换方程依次填写二维数组的每一个值（按照先填列再填行的顺序）,那么二维数组的最后的一个值即是最大的价值总和。

示例代码如下：

#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;

int MaxValueUseDP(int(&wei)[5], int(&val)[5], int limit)
{
	int sz = sizeof(wei) / sizeof(int);
	int m = sz + 1;
	int n = limit + 1;
	int ret = 0;
	//声明m行n列的二维动态数组
	vector<vector<int> >V(m, vector<int>(n));
	V.reserve(50);
	//初始化
	for (int i = 0; i < m; ++i)
		V[i][0] = 0;
	for (int j = 0; j < n; ++j)
		V[0][j] = 0;
	//按先列后行的顺序遍历赋值
	for (int j = 1; j < n; ++j)
		for (int i = 1; i < m; ++i)
		{
			if (wei[i-1] > j)
				V[i][j] = V[i - 1][j];
			else
			{
				int tmp = V[i - 1][j - wei[i-1]] + val[i-1];
				int max = V[i - 1][j] > tmp ? V[i - 1][j] : tmp;
				V[i][j] = max;
			}
		}
	ret = V[m-1][n-1];
	return ret;
}

int main()
{
	int Wi[5] = { 2,2,6,5,4 };
	int Vi[5] = { 6,3,5,4,6 };
	int MaxWeight = 10;
	cout << MaxValueUseDP(Wi, Vi, MaxWeight) << endl;
	return 0;
}

说明：被调函数的形参设为含有5个int类型元素数组的引用，限制了传入实参只能是
含有5个int类型元素的数组。

运行结果见下图：