动态规划,Dijkstra算法,A*算法的比较

动态规划,Dijkstra算法,A*算法的框架是相同的,不同点仅在于“推进点的选取”和“算法终止条件”。
一,动态规划:(参见http://blog.csdn.net/iwantnon/archive/2009/07/07/4329269.aspx )
推进点选取:
(1),在粗犷的动态规划算法中:
根本不进行选择,而是对所有已存在节点全部推进一遍。这可能造成如下两点浪费:
[1],重复推进:对某点v已经作了推进,而下一次在其valu值没有发生更改的情况下又一次对它进行推进,显然这第二次推进得不到任何新东西,所以是白费的。
[2],推进失效:对某点v作了推进以后,又对点u作推进,而u恰好将点v的valu值刷新,于是当初对点v所作的推进失效(应该用点v的新valu值重新推进)。
(2),在带open标记的动态规划算法中:
对点v进行推进后将其关闭(令v.open=false),由于在选择推进点时只从处于开启状态的点中选,这样就避免了重复推进v点,除非v点valu值被刷新而再次变为开启(v.open=true)状态。即解决了”重复推进“问题,但并没有解决”推进失效“问题。
终止条件:
无论是在粗犷动态规划算法还是在带open标记的动态规划算法中,为了保证得到终点的最优值都必须“充分推进”–即推进|V|-1次。
二,Dijkstra算法:(参见:http://blog.csdn.net/iwantnon/archive/2009/07/07/4329316.aspx )
推进点选取:
dijkstra 算法建立在带open标记的动态规划算法之上,但在选取推进点时只选取valu值已达终态的点v(称为”极元”)。由于v的valu值已达终态,所以它不 可能再被其它点刷新,这样就避免了“推进失效”。那么,什么样的点可以作为“极元”呢?极元是否存在及如何构造,是要根据具体问题来分析的,例如:
(1),在”非负权值最短路径”问题中,dis最小的点v就可以取作”极元”,原因是由于所有权值非负,所以其它点推进后dis值会更加大于v的dis值,所以不可能将v刷新。
(2),再如“促销组合”问题中(注),可以状态坐标距st.loc欧氏距离(或曼哈顿距离)最小的状态点v为“极元”,原因是其它点推进后其距st.loc的欧氏距离(或曼哈顿距离)定会进一步增大,从而不可能刷新v点。
(3),再如在”最优排列问题”(例如”旅行商问题“和”工序问题”)中,我们可以取已用过的物件集S中物件可个最少的状态点v作为”极元”,原因是其它所有状态点推进后物件集必将进一步扩大,从而不可能刷到v点。
由此可见,“极元”的构造往往依赖于推进过程中某个特征量的单调性。
终止条件:
 由 于dijkstra算法中极小元在每次推进后被关闭,并且由于其valu值已达终态,所以不会再被刷新,因此不会被再次开启。也就是说:dijkstra 算法中任何时刻open=false的点都是valu已达终态的点。所以一旦ed.open==false,则可终止程序。这个在某些情况下与动态规划中 必须推进满|V|-1次相比要节约。

注:促销组合问题:
1),min型:有a,b,c三种商品,1a=3元,1b=2元,1c=4元。另提供下列组合:1a+1b=4元,1a+2b+1c=9元,1b+1c=5元。现要买8a+9b+9c,问最少花多少钱?
2),max型:有a,b,c三种商品,买1a给3个赠品,买1b给2个赠品,买1c给4个赠品。另提供下列组合:买1a+1b给8个赠品,买1a+2b+1c给13个赠品,买1b+1c给7个赠品。现要买8a+9b+9c,问最多可得赠品多少个?
三,A*算法:(参见:http://blog.csdn.net/iwantnon/archive/2009/07/07/4329286.aspx )
推进点选取:
A*算法也是每次只推进一个点,但它是选取当前评价值(注1)最好的点。
由于评价值最好的点未必是极元,所以A*算法存在“推进失效”,不过只要推进的次数足够多(例如推进到所有节点都关闭),显然A*算法能得到最优解。
不过A*算法的目的是:较快地(推进次数较少)得到比较满意的结果。因此往往类似于dijkstra算法,推进到ed.open=false时就结程序(注2)。由于A*算法不能像dijkstra算法那样保证处于关闭状态的节点都已达终态,所以得到近似最优解。
注1:评价值=costed+willcost(或者wined+willwin),其中costed(或wined)即为当前valu值,而willcost(或willwin)则需要估计来确定。
注2:如果是在所有节点都关闭时结束,则状态空间将包含所有状态,故空间复杂度与动态规划相同(因而高于dijkstra算法)。又由于存在“推进失效”,所以时间复杂度也比dijkstra算法高。
终止条件:
上面已提到,A*算法往往取ed.open=false时终止。

    原文作者:动态规划
    原文地址: https://blog.csdn.net/z363115269/article/details/16370227
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