原题

完全背包问题

有n种重量和价值分别为wi，vi的物品。从这些物品中挑选总重量不超过W的物品，求出挑选物品价值总和的最大值。在这里，每种物品可以挑选任意多件。 1<=n<=100 1<=wi,vi<=100 1<=W<=10000

样例输入

n=3

(w,v)={(3,4),(4,5),(2,3)}

W=7

样例输出

10(0号物品选1个，2号物品选2个)

涉及知识及算法

递推关系： dp[0][j]=0 dp[i+1][j]=max{dp[i][j-k*w[i]]+k*v[i]|0<=k} 但直接这样去写程序是三重循环，时间复杂度为O(mW^2). 在这个算法中有多余的计算： 在dp[i+1][j]的计算中选择k(k>=1)个 i 物品的情况，与在dp[i+1][j-w[i]]的计算中选择k-1的情况是相同的，所以dp[i+1][j]的递推中k>=1部分的计算已经在dp[i+1][j-w[i]]的计算中完成了。那么可以按照如下方式进行变形： dp[i+1][j] =max{dp[i][j-k*w[i]]+k*v[i]|0<=k} =max(dp[i][j],max{dp[i][j-k*w[i]]+k*v[i]|1<=k}) =max(dp[i][j],max{dp[i][(j-w[i])-k*w[i]]+k*v[i]|0<=k}+v[i]) =max(dp[i][j],dp[i+1][j-w[i]]+v[i]) 这样一来就可以用O(nW)时间解决问题。

代码

void solve()
{
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        for(int j=0;j<=W;j++)
        {
            if(j<w[i])
            {
                dp[i+1][j]=dp[i][j];
            }
            else 
            {
                dp[i+1][j]=max(dp[i][j],dp[i+1][j-w[i]]+v[i]);
            }
        }
    }
    printf("%d\n",dp[n][W]);
}

此外，之前提到的01背包问题和这里的完全背包问题，可以通过不断重复利用一个数组来实现。 01背包问题的情况

void solve()
{
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        for(int j=W;j>=w[i];j--)
        {
            dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);
        }
    }
    printf("%d\n",dp[w]);
}

完全背包问题的情况

int dp[MAX_W+1];
void solve()
{
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        for(int j=w[i];j<=W;j++)
        {
            dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);
        }
    }
    printf("%d\n",dp[w]);
}

注：文章转载自《挑战程序设计竞赛》（第二版）