看了《算法导论》中文第二版P208的动态规划求解LCS问题，觉得很赞，但总觉得算导写得有些晦涩，希望自己能写得简单易懂一些，纯当锻炼了，欢迎指导交流。
首先，子序列和子串是不一样的。子串是连续的，而子序列中的元素组成可以是不连续的，但元素的位置下标一定是递增的。以一个字串S = “abcdef”为例，字串S的一个子串是”abc”,’cdef’这种连续的，而子序列可以是”abc”，也可以是”af “，给人的直观感觉就是用S中的字符拼凑成的，但f一定在a之前。
我们设有两个字符串X和Y，其中，X={x0, x1, x2, ….xi }，Y={y0, y1, y2, yj }。用lcs(i , j)表示字符串X与Y的最长公共子序列的长度。
由动态规划思想可知，问题的最优解是由子问题的最优解构成的，所以lcs(i,j) 的值与lcs(i-1, j-1), lcs(i-1, j), lcs(i, j-1) 都有一定的关系。
要确定lcs(i,j)的值，首先比较一下xi, yj 的值，有以下2种情况：
1. xi == yj，说明xi与yj 一定在最长公共子序列中，所以lcs (i , j) 是由lcs(i-1,j -1)之前的值决定的，即
lcs(i,j) = lcs(i-1, j-1) + 1；
2. xi != yj ，设在最长公共子序列中的最后一个值为zk，可能zk == xi，也可能zk == yj，也可能zk与xi, yj的值都不同。
这3种情况的分析如下：
a. zk == xi, 那么最长公共子序列取决于去掉yj的Y字符串与X字符串的最长公共子序列，
即lcs(i, j) = lcs(i, j-1)；
b. 与a同理，若yj在最长公共子序列中，那么lcs(i, j) = lcs(i – 1, j)；
c. zk与xi, yj的值都不同，那么lcs( i, j ) 的值取决于去掉xi的X字串与去掉yj的Y字串的最长公共子序列的长度，即
lcs(i, j) = lcs( i-1, j-1)。
结合a,b,c的情况，因为最长公共子序列必有最大的长度，所以
lcs(i, j) = max ( lcs( i-1, j) , lcs( i, j-1) )。这个公式之所以包含情况c，是因为在情况c下，最长公共子序列的最后一个
值zk肯定是xi与yj之前的位置上的值，xi 与yj 在这种情况下对最长公共子序列的长度没有影响力，所以在这种情况下，
lcs( i-1, j) 和 lcs( i, j-1)都等于lcs (i -1, j -1)，可归并到公式中。
因此，我们有：
当xi == yj 时，lcs(i,j) = lcs(i-1, j-1) + 1；
当xi != yj 时， lcs(i, j) = max ( lcs( i-1, j) , lcs( i, j-1) )。
分析完毕，可以练练手了，POJ的1458题正是LCS的题。
LCS的一般代码如下：
int LCS(string sx, string sy)
{
int sizex = sx.length();
int sizey = sy.length();
//创建动态二维数组
int **lcs = new int*[sizex];
for (int i = 0; i < sizex; ++i)
{
lcs[i] = new int[sizey];
}
//求解LCS
int max = 0;
for (int i = 0; i < sizex; ++i)
{
for (int j = 0; j < sizey; ++j)
{
//计算初始值：lcs[0][x]和lcs[x][0]的值
if (i == 0 || j == 0)
{
if (sx[i] == sy[j])
{
lcs[i][j] = 1;
}
else
{
if (i == 0 && j == 0)
lcs[i][j] = 0;
else if (i == 0 && j != 0)
lcs[i][j] = lcs[i][j-1];
else
lcs[i][j] = lcs[i-1][j];
}
}
else //其他lcs[i][j]的值
{
if (sx[i] == sy[j])
lcs[i][j] = lcs[i-1][j-1] + 1;
else
lcs[i][j] = lcs[i-1][j] > lcs[i][j-1] ? lcs[i-1][j] : lcs[i][j-1];
}
if (lcs[i][j] > max)
max = lcs[i][j];
}
}
//释放动态二维数组
for (int i = 0; i < sizex; ++i)
{
delete[] lcs[i];
}
delete[] lcs;
return max;
}