DP一年多没碰过了，今天突然想找找感觉，找了经典的几道DP复习着敲了敲。虽然最大子矩阵，滑雪，石子合并等问题也足够经典，我还是从中找了5道最经典的DP写了这篇博文，如果您是大一，大二想踏入程序竞赛的同学可以当习题做做，如果您像我一样不是ACMer，平时项目中也很少用DP，同样可以回顾一下DP的奥妙。
1.最大连续子序列之和
给定K个整数的序列{ N1, N2, …, NK }，其任意连续子序列可表示为{ Ni, Ni+1, …, Nj }，其中 1 <= i <= j <= K。最大连续子序列是所有连续子序中元素和最大的一个， 例如给定序列{ -2, 11, -4, 13, -5, -2 }，其最大连续子序列为{ 11, -4, 13 }，最大和为20。
状态转移方程： sum[i]=max(sum[i-1]+a[i],a[i])
代码清单：
#include "stdio.h"
main(){
int i,sum = 0, max = 0;
int data[] = {
1,-2,3,-1,7
};
for(i = 0; i < sizeof(data)/sizeof(data[0]); i++){
sum += data[i];
if(sum > max)
max = sum;
if(sum < 0)
sum = 0;
}
printf("%d",max);
}2.数塔问题
数塔问题 ：要求从顶层走到底层，若每一步只能走到相邻的结点，则经过的结点的数字之和最大是多少？
转移方程：sum[i] = max(a[左孩子] , a[右孩子]) + a[i]
#include "stdio.h"
#define N 5
main(){
int i,j;
int data[N][N] = {
{9,0,0,0,0},
{12,15,0,0,0},
{10,6,8,0,0},
{2,18,9,5,0},
{19,7,10,4,16}
};
for(i = N-1; i > 0; i--)
for(j = 0; j < i; j++)
data[i-1][j] += data[i][j] > data[i][j+1] ? data[i][j] : data[i][j+1];
printf("%d",data[0][0]);
}3.01背包问题
有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。
转移方程：dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-weight[i]] + value[i]
#include "stdio.h"
#define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
main(){
int v = 10 ;
int n = 5 ;
int value[] = {0, 8 , 10 , 4 , 5 , 5};
int weight[] = {0, 6 , 4 , 2 , 4 , 3};
int i,j;
int dp[n+1][v+1];
for(i = 0; i < n+1; i++)
for(j = 0; j < v+1; j++)
dp[i][j] = 0;
for(i = 1; i <= n; i++){
for(j = 1; j <= v; j++){
if(j >= weight[i])
dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-weight[i]] + value[i]);
else
dp[i][j] = dp[i-1][j];
}
}
printf("%d",dp[n][v]);
}4.最长递增子序列(LIS)
给定一个序列 An = a1 ,a2 , … , an ，找出最长的子序列使得对所有 i < j ，ai < aj 。
转移方程：b[k]=max(max(b[j]|a[j]<a[k],j<k)+1,1);
代码清单：
#include "stdio.h"
main(){
int i,j,length,max=0;
int a[] = {
1,-1,2,-3,4,-5,6,-7
};
int *b;
b = (int *)malloc(sizeof(a));
length = sizeof(a)/sizeof(a[0]);
for(i = 0; i < length; i++){
b[i] = 1;
for(j = 0; j < i; j++){
if(a[i] > a[j] && b[i] <= b[j]){
b[i] = b[j] + 1;
}
}
}
for(i = 0; i < length; i++)
if(b[i] > max)
max = b[i];
printf("%d",max);
}5.最长公共子序列(LCS)
一个序列 S ，如果分别是两个或多个已知序列的子序列，且是所有符合此条件序列中最长的，则 S 称为已知序列的最长公共子序列。
转移方程：
dp[i,j] = 0 i=0 || j=0
dp[i,j] = dp[i-1][j-1]+1 i>0,j>0, a[i] = b[j]
dp[i,j] = max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]) i>0,j>0, a[i] != b[j]
#include "stdio.h"
#define M 8
#define N 6
void printLSC(int i, int j,char *a, int status[][N]){
if(i == 0 || j== 0)
return;
if(status[i][j] == 0){
printLSC(i-1,j-1,a,status);
printf("%c",a[i]);
}else{
if(status[i][j] == 1)
printLSC(i-1,j,a,status);
else
printLSC(i,j-1,a,status);
}
}
main(){
int i,j;
char a[] = {' ','A','B','C','B','D','A','B'};
char b[] = {' ','B','D','C','B','A'};
int status[M][N]; //保存状态
int dp[M][N];
for(i = 0; i < M; i++)
for(j = 0; j < N; j++){
dp[i][j] = 0;
status[i][j] = 0;
}
for(i = 1; i < M; i++)
for(j = 1; j < N; j++){
if(a[i] == b[j]){
dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1;
status[i][j] = 0;
}
else if(dp[i][j-1] >= dp[i-1][j]){
dp[i][j] = dp[i][j-1];
status[i][j] = 2;
}
else{
dp[i][j] = dp[i-1][j];
status[i][j] = 1;
}
}
printf("最大长度：%d",dp[M-1][N-1]);
printf("\n");
printLSC(M-1,N-1,a,status);
printf("\n");
}=======================================================
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