饮料供货是一个
求最优解问题。需要在给定最大容量V的前提下，从不同容量不同满意度的饮料中选择满意度最大的集合。

1. 动态规划

动态规划是最常用的解决最优化问题的方法，很容易应用到本题的需求中。用f[V,i]表示从第i,i+1,i+2,…,n-1种饮料中，算出总量为V的方案中满意度之和的最大值。

动态规划方程为：f[V,i] = max{k*Hi + f[V-k*Vi, i+1]}

弄清解法之后，我们不妨来分析一下问题的最优子结构。

根据《算法导论》描述，最优子结构有两种变形：

     1) 有多少个问题在原问题的最优解中，

     2) 在决定一个最优解中使用哪些子问题时有多少个选择。

在饮料供货问题中，一个最优解只使用了一个子问题，但为了确定最优解，我们必须考虑Ci(第i中饮料可选的最大数量)种选择。

2. 贪心算法

书中提到第二种解法，贪心算法。由于所有饮料的容量都是2的整数幂，这就给贪心创造了条件。

假设给定的容量为V，我们可以把V写成二进制的形式，不妨设V=7，二进制的写法为111。

接下来我们就从最低位开始取：

第一步，取第一个1：拿出容量为1满意度最大的饮料，

第二步，取第二个1：使用剩余容量为1的饮料构造容量为2的饮料，比如(1,2)(1,3)构造出(2,5)，并从新构造的和原有容量为2的所有饮料中选出满意度最大的。

第三步，取第三个1：递归构造容量为4的饮料，并从新构造的和原有容量为4的所有饮料中选出满意度最大的。

3.定义饮料类

首先需要定义一个饮料的类：

struct Drink
{
	int Volume;
	int TotalCount;
	int Happiness;
	Drink(int v, int t, int h)
	{
		Volume = v;
		TotalCount = t;
		Happiness = h;
	}
};

建立一个存储饮料的全局动态数组，用于存放所有饮料，由于同时兼顾动态规划和贪心算法两种方法，我们使用了一个二维数组。

drink[i][j]表示容量为2^i的第j个饮料。

vector<vector<Drink> > drinks;
void initialize()
{
	ifstream fin("drink.txt");
	int v,t,h;
	
	while(fin>>v>>t>>h)
	{
		while(drinks.size()<=v)
		{
			drinks.push_back(vector<Drink>());
		}
		drinks[v].push_back(Drink((int)pow(2,v),t,h));
	}
	fin.close();
}

创建样例输入drink.txt。

0 2 2
0 2 3
0 3 5
0 3 4
1 2 6
1 3 5
1 4 4
2 1 18
2 2 12

 接下来使用两种方法求解当V=7时的最高满意度值。

4.动态规划解法

const int MAXV=101;
const int MAXT=101;
int opt[MAXV][MAXT];

// 动态规划 
int GetMaxHappinessByDP1(int V)
{
	int maxHappiness = 0;
	vector<Drink> temp;
	for (int i=0; i<drinks.size(); ++i)
		for(int j=0; j<drinks[i].size(); ++j)
			temp.push_back(drinks[i][j]);

	int T = temp.size();

	// init
	for(int i=0; i<=T; ++i)
		opt[0][i] = 0;
	for (int i=0; i<=V; ++i)
		opt[i][T] = 0;

	for (int i=T-1; i>=0; --i)
	{
		for(int j=0; j<=V; ++j)
		{
			opt[j][i] = 0;
			for (int k=0; k<=temp[i].TotalCount; ++k)
			{
				int v = temp[i].Volume*k;
				int h = temp[i].Happiness*k;
				if (v<=j && opt[j-v][i+1]+h>opt[j][i])
				{
					opt[j][i] = opt[j-v][i+1]+h;
				}
			}
		}
	}
	return opt[V][0];
}

动态规划数组输出结果：

 只需要读取opt[7][0]即可获得最高满意度为33。

5.贪心解法

int TakeOutMax( int k)
{
	int maxHappiness = 0;
	if (k < 0) return 0;
	
	if (k > 0){
		int t =k/2;
		int h = TakeOutMax(t);
		if (h>0){
			drinks[t].push_back(Drink((int)pow(2,t), 1, h));
			h = TakeOutMax(t);
			if (h>0)
			{
				drinks[t].push_back(Drink((int)pow(2,t), 1, h));
			}
		}
		int p1, p2;
		p1 = p2 = -1;
		for (int i=0; i<drinks[t].size(); i++)
		{
			for (int j=i+1; j<drinks[t].size(); ++j)
			{
				if (drinks[t][i].TotalCount>0 && drinks[t][j].TotalCount>0 && drinks[t][i].Happiness+drinks[t][j].Happiness>maxHappiness)
				{
					maxHappiness = drinks[t][i].Happiness+drinks[t][j].Happiness;
					p1 = i;
					p2 = j;
				}
			}
		}
		if (p1 >-1 && p2 > -1)
		{
			drinks[t][p1].TotalCount--;
			drinks[t][p2].TotalCount--;
			drinks[k].push_back(Drink((int)pow(2,k), 1, maxHappiness));
		}
	}
	int p=-1;
	maxHappiness = 0;
	for (int i=0; i<drinks[k].size(); ++i)
	{
		if (drinks[k][i].TotalCount>0 && drinks[k][i].Happiness>maxHappiness)
		{
			maxHappiness = drinks[k][i].Happiness;
			p = i;
		}
	}
	if (p >=0 ){
		drinks[k][p].TotalCount--;
	}
	return maxHappiness;
}

// 贪心算法
int GetMaxHappinessByGreed(int V)
{
	int k = V;
	int i=0;
	int happiness = 0;
	while(k)
	{
		if (k & 1) happiness += TakeOutMax(i);
		k >>= 1;
		i++;
	}
	return happiness;
}

贪心解法中TakeOutMax()函数会改变drinks数组。

最后的返回值是一样的：33。

6.总结

1)动态规划解法中，前两层循环的次序可以颠倒。也就是在生成的动态数组中，我们可以从上往下一行一行地填，或者从右往左一列一列地填都不影响最后结果，最关键的是需要事先把边界值设定好，最上面一行全为0，最右边一列全为0。

2)贪心算法的思路其实并没有动态规划清晰，但也容易想通，算法的复杂度我没有仔细研究，欢迎大家讨论。