贪心算法在背包问题中应用的探讨
[关键词：贪心算法，背包问题，遗传算法，动态规划]
1. 摘要
以背包问题为例，介绍了贪心法与动态规划的关系以及两个方案在解决背包问题上的比较。贪心法什么时候能取到最优界并无一般理论，但对于普通背包问题我们有一个完美的结果——贪心法可取到最优解。介绍了其它一些对背包问题的研究或者拓展。
2. 介绍
贪心算法是我们在《算法设计技巧与分析》这门课中所学习到的几种重要的算法之一，顾名思义，贪心算法总是作出在当前看来最好的选择。也就是该算法并不从整体最优考虑，它所作出的选择只是在某种意义上的从局部的最优选择，寻找到解决问题的次优解的方法。虽然我们希望贪心算法得到的最终结果也是整体最优的，但是在某些情况下，该算法得到的只是问题的最优解的近似。
3. 算法思想:
贪心法的基本思路：
——从问题的某一个初始解出发逐步逼近给定的目标，以尽可能快的地求得更好的解。当达到某算法中的某一步不能再继续前进时，算法停止。
该算法存在问题：
1. 不能保证求得的最后解是最佳的；
2. 不能用来求最大或最小解问题；
3. 只能求满足某些约束条件的可行解的范围。
实现该算法的过程：
Begin 从问题的某一初始解出发；
while 能朝给定总目标前进一步 do
求出可行解的一个解元素；
由所有解元素组合成问题的一个可行解
4. 关于贪心算法在背包问题中的应用的探讨
(1) 问题描述
0-1背包问题：给定n种物品和一个背包。物品i的重量是Wi，其价值为Vi，背包的容量为C。应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大? 在选择装入背包的物品时，对每种物品i只有2种选择，即装入背包(1)或不装入背包(0)。不能将物品i装入背包多次，也不能只装入部分的物品i。
背包问题：与0-1背包问题类似，所不同的是在选择物品i装入背包时，可以选择物品i的一部分，而不一定要全部装入背包，1≤i≤n。
背包问题可以定义如下：给出n个大小为s1,s2,…,sn,值为v1,v2,…,vn的项目，并设背包容量为C，要找到非负实数x1,x2,…,xn, 使和
在约束 下最大。
(2) 动态规划解决方案：是解决0/1背包问题的最优解
(i) 若i=0或j=0, V[i,j] = 0
(ii) 若j<si, V[i,j] = V[i-1,j] (仅用最优的方法，选取前i-1项物品装入体积为j 的背包，因为第i项体积大于j,装不下这一项，所以背包里面的i-1项就达到最大值)
(iii) 若i>0和j>=si, Max{V[i-1,j],V[i-1,j-si]+vi} (第一种情况是包中的i-1项已经达到最大值，第二种情况是i-1项占j-si的体积再加上第i项的总的价值，取这两种情况的最大值。)
//sj和vj分别为第j项物品的体积和价值，C是总体积限制。
//V[i,j]表示从前i项{u1,u2,…,un}中取出来的装入体积为j的背包的物品的最大//价值。[13]
（3）贪心算法解决背包问题有几种策略：
(i) 一种贪婪准则为：从剩余的物品中，选出可以装入背包的价值最大的物品，利用这种规则，价值最大的物品首先被装入（假设有足够容量），然后是下一个价值最大的物品，如此继续下去。这种策略不能保证得到最优解。例如，考虑n=2, w=[100,10,10], p =[20,15,15], c = 105。当利用价值贪婪准则时，获得的解为x= [ 1 , 0 , 0 ]，这种方案的总价值为2 0。而最优解为[ 0 , 1 , 1 ]，其总价值为3 0。
(ii) 另一种方案是重量贪婪准则是：从剩下的物品中选择可装入背包的重量最小的物品。虽然这种规则对于前面的例子能产生最优解，但在一般情况下则不一定能得到最优解。考虑n= 2 ,w=[10,20], p=[5,100], c= 2 5。当利用重量贪婪策略时，获得的解为x =[1,0], 比最优解[ 0 , 1 ]要差。
(iii) 还有一种贪婪准则，就是我们教材上提到的，认为，每一项计算yi=vi/si,即该项值和大小的比，再按比值的降序来排序，从第一项开始装背包，然后是第二项，依次类推，尽可能的多放，直到装满背包。
有的参考资料也称为价值密度pi/wi贪婪算法。这种策略也不能保证得到最优解。利用此策略试解n= 3 ,w=[20,15,15], p=[40,25,25], c=30 时的最优解。虽然按pi /wi 非递（增）减的次序装入物品不能保证得到最优解，但它是一个直觉上近似的解。
而且这是解决普通背包问题的最优解，因为在选择物品i装入背包时，可以选择物品i的一部分，而不一定要全部装入背包，1≤i≤n。
如图１，大体上说明了动态规划解决的０／１背包问题和贪心算法解决的问题之间的区别，
图１
（4）贪心算法解决背包问题的算法实现：
代码如下：
#include <iostream.h>
struct goodinfo
{
float p; //物品效益
float w; //物品重量
float X; //物品该放的数量
int flag; //物品编号
};//物品信息结构体
void Insertionsort(goodinfo goods[],int n)
{//插入排序，按pi/wi价值收益进行排序，一般教材上按冒泡排序
int j,i;
for(j=2;j<=n;j++)
{
goods[0]=goods[j];
i=j-1;
while (goods[0].p>goods[i].p)
{
goods[i+1]=goods[i];
i–;
}
goods[i+1]=goods[0];
}
}//按物品效益，重量比值做升序排列
void bag(goodinfo goods[],float M,int n)
{
float cu;
int i,j;
for(i=1;i<=n;i++)
goods[i].X=0;
cu=M; //背包剩余容量
for(i=1;i<n;i++)
{
if(goods[i].w>cu)//当该物品重量大与剩余容量跳出
break;
goods[i].X=1;
cu=cu-goods[i].w;//确定背包新的剩余容量
}
if(i<=n)
goods[i].X=cu/goods[i].w;//该物品所要放的量
/*按物品编号做降序排列*/
for(j=2;j<=n;j++)
{
goods[0]=goods[j];
i=j-1;
while (goods[0].flag<goods[i].flag)
{
goods[i+1]=goods[i];
i–;
}
goods[i+1]=goods[0];
}
///////////////////////////////////////////
cout<<“最优解为:”<<endl;
for(i=1;i<=n;i++)
{
cout<<“第“<<i<<“件物品要放:”;
cout<<goods[i].X<<endl;
}
}
void main()
{
cout<<“|——–运用贪心法解背包问题———|”<<endl;
int j,n; float M;
goodinfo *goods;//定义一个指针
while(j)
{
cout<<“请输入物品的总数量：“;
cin>>n;
goods=new struct goodinfo [n+1];//
cout<<“请输入背包的最大容量：“;
cin>>M;
cout<<endl;
int i;
for(i=1;i<=n;i++)
{ goods[i].flag=i;
cout<<“请输入第“<<i<<“件物品的重量:”;
cin>>goods[i].w;
cout<<“请输入第“<<i<<“件物品的效益:”;
cin>>goods[i].p;
goods[i].p=goods[i].p/goods[i].w;//得出物品的效益，重量比
cout<<endl;
}
Insertionsort(goods,n);
bag(goods,M,n);
cout<<“press <1> to run agian”<<endl;
cout<<“press <0> to exit”<<endl;
cin>>j;
}
}
[例] 即教材例7.6,假如有容量为９(C=9)的背包，要装入４(n=4)种体积为２，３，４和５的物品，它们的价值分别是３，４，５和７。对这个问题课本是用动态规划的方式给予实现通过列表格可知，
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
1 | 0 | 0 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 |
2 | 0 | 0 | 3 | 4 | 4 | 7 | 7 | 7 | 7 | 7 |
3 | 0 | 0 | 3 | 4 | 4 | 7 | 8 | 9 | 9 | 12 |
4 | 0 | 0 | 3 | 4 | 5 | 7 | 8 | 10 | 11 | 12 |
有两种方案可以达到最优解，装物品价值为５和７或者是装入物品价值为３，４和５。这样我们获得的价值是１２。
现在我们来讨论用上述贪心算法把这个问题看成普通背包问题进行讨论，以这个实例运行程序可以有这样的结果：(WindowsXP系统，Microsoft Visual C++ 2005)
这样得到的结果是价值为3体积是２的放1,价值是３体积是４的放0.666667，价值是５体积是７的放１，最后得到的结果是占的体积是9.000001,（期望值是Ｃ＝９），而总的价值是12.66668，（动态规划我们得出的结论是12），所以我们可以看到用贪心算法解决普通背包问题时得到的解是最优解。
5.其它方面对背包问题的探讨
(1) UIST 2002的第15次年会上，描述了第二届UIST界面接口设计比赛，队伍将会设计并应用一种界面接口来解决非常有挑战性的真实世界中的问题。装包问题经常在工业中提到。虽然在各种装载问题的算法的发展上做出了很多的努力，但是许多重要的装载问题仍然是由人工解决而不是计算机。考虑一个二维多边形装载如图：它由许多多边形组成，这是做成裤子的布块。调动这些废旧的布块是服装厂的一个重要的工作。同样的问题在许多工业中遇到，也许非常惊讶的是，即使计算机算法在计算机几何学中有很大的发展，但是这些问题的解决更好的是通过手工专家来做。[4]
1。一个服装工厂的多边形装载问题。[5]
(2) 背包问题解决的是把一系列物品装进背包内，要使总重量，体积等不超过某个最大值。一种简单的算法(第一种算法[9])把按先拿到的物品放到第一个包中。1973年，J.Ullman证明了这种算法能够达到最优解的70%(Hoffman 1998,p.171[6])。一种改进的算法第一次把物品按照体积的从大到小的顺序放进包中。1973年，D. Johnson表明这种算法有22%的可能永远也不可能达到最优解，并且进一步指出没有有效的背包算法能够保证做到比22%还好(Hoffman 1998,p.172[6])。[10][11][12]
存在着这样一种物品的安排，在应用这种算法时，如果我们移去一种物品，则需要另外的一个包，这要比把这种物品包含其中的数量要多(Hoffman 1998,pp.172-173[6])。第一个这样的例子由Sylvia Halasz构建，并在Graham上发表(1976,pp.223 && 225,Fig.5.46)。
(3)
(4) 背包问题是著名的NP完备类困难问题，对这个问题的求解前人已经研究出了不少的经典的方法，对该问题虽然能得到很不错的结果。但是这些传统的优化方法还存在一些缺点。遗传算法克服了传统优化方法的缺点，借助了大自然的演化过程，是多线索而非单线索的全局优化方法，采用的是种群和随机搜索机制。将遗传算法应用于背包问题，并通过实例证明了该算法在解决该问题也是比较有效的。
与传统的优化算法相比，遗传算法作为一种新的全局优化搜索算法，遗传算法以其简单通用、鲁棒性强、适于并行处理以及高效、实用等显著特点，在各个领域得到了广泛应用，取得了良好效果，并逐渐成为重要的智能算法之一。背包问题是一个典型的NP完全难题，对该问题求解方法的研究无论是在理论上，还是在实践中都具有一定的意义，如管理中的资旅分配、投资决策、装载问题等均可建模为背包问题。[15
6．参考文献
[1] T. H. Cormen, C. E. Leiserson, R. L. Rivest and C. Stein (2001), Introduction to Algorithms (the second edition). The MIT Press，中文名《算法导论（第二版）》（影印版），高等教育出版社
[2] Greedy Algorithms Original version by John Stone on October 24, 1995. Some modifications by Samuel A. Rebelsky in September 1997.
[3] http://mathworld.wolfram.com/Bin-PackingProblem.html
[4] Trisha Brady, Joe Marks, and Kathy Ryall The Second ACM UIST Interface-Design Contest Mitsubishi Electric Research Laboratories & Harvard University Extension School,27-30 oct.2002
[5] K.M. Daniels and V.J. Milenkovic “Column-Based Strip Packing using Ordered and Compliant Containment,” Proc. of the First ACM Workshop on Applied Computational Geometry, May 1996, pp. 33-38.
[6] Hoffman, P. The Man Who Loved Only Numbers: The Story of Paul Erdos and the Search for Mathematical Truth. New York: Hyperion, 1998.
[7] Garey, M. R.; Graham, R. L.; and Ullman, J. D. “An Analysis of Some Packing Algorithms.” In Combinatorial Algorithms. New York: Algorithmics Press, pp. 39-47, 1973.
[8] Graham, R. L. “Bounds on Performance of Scheduling Algorithms.” In Computer and Job-Shop Scheduling Theory (Ed. E. G. Coffman Jr.). New York: Wiley, pp. 165-227, 1976.
[9] Albers, S. and Mitzenmacher, M. “Average-Case Analyses of First Fit and Random Fit Bin Packing.” Random Structures Alg. 16, 240-259, 2000.
[10] Coffman, E. G. Jr.; Garey, M. R.; and Johnson, D. S. “Approximation Algorithms for Bin-Packing–An Updated Survey.” In Algorithm Design for Computer System Design. Vienna: Springer-Verlag, pp. 49-106, 1984.
[11] Johnson, D. S. “Approximation Algorithms for Combinatorial Problems.” In J. Comput. System Sci. 9, 256-278, 1974.
[12] Johnson, D. S. “Approximation Algorithms for Combinatorial Problems.” In Fifth Annual ACM Symposium on Theory of Computing (Austin, Tex., 1973). New York: Assoc. Comput. Mach., pp. 38-49, 1973.
[13] 算法设计技巧与分析，[沙特]M.H.Alsuwaiyel，吴伟昶等译 2004
[14] E.G. Coffman, Jr., M.R. Garey, and D.S. Johnson. Approximation Algorithms for Bin-Packing — An Updated Survey. In Algorithm Design for Computer System Design, ed. by Ausiello, Lucertini, and Serafini. Springer-Verlag, 1984.
[15] 苑立伟,刘付显等.改进遗传算法及其在背包问题中的应用[J].系统工程与电子技术,2005年4月第27卷第4期.
