需求一:
剪绳子,将长度为n的绳子剪成若干段,求各段长度乘积的最大值
分析:
1、动态规划
设f(n)代表长度为n的绳子剪成若干段的最大乘积,如果第一刀下去,第一段长度是i,那么剩下的就需要剪n-i,那么f(n)=max{f(i)f(n-i)}。而f(n)的最优解对应着f(i)和f(n-i)的最优解,假如f(i)不是最优解,那么其最优解和f(n-i)乘积肯定大于f(n)的最优解,和f(n)达到最优解矛盾,所以f(n)的最优解对应着f(i)和f(n-i)的最优解。首先,剪绳子是最优解问题,其次,大问题包含小问题,并且大问题的最优解包含着小问题的最优解,所以可以使用动态规划求解问题,并且从小到大求解,把小问题的最优解记录在数组中,求大问题最优解时就可以直接获取,避免重复计算。
n<2时,由于每次至少减一次,所以返回0。n=2时,只能剪成两个1,那么返回1。n=3时,可以剪成3个1,或者1和2,那么最大乘积是2。当n>3时,就可以使用公式进行求解。
f(4)=max{f(1)f(3), f(2)f(2)}
f(5)=max{f(1)f(4), f(2)f(3)}
…
f(n)=max{f(1)f(n-1), f(2)f(n-2), f(3)f(n-3), …, f(i)(fn-i), …}
因为需要保证f(i)f(n-i)不重复,就需要保证i<=n/2,这是一个限制条件,求1~n/2范围内的乘积,得到最大值
2、贪心算法
n<2时,返回0;n=2时,返回1;n=3时,返回2
根据数学计算,当n>=5时,2(n-2)>n,3(n-3)>n,这就是说,将绳子剪成2和(n-2)或者剪成3和(n-3)时,乘积大于不剪的乘积,因此需要把绳子剪成2或者3。并且3(n-3)>=2(n-2),也就是说,当n>=5时,应该剪尽量多的3,可以使最后的乘积最大。对于长度是n的绳子,我们可以剪出n/3个3,剩余长度是1或者2,如果余数是1,就可以把1和最后一个3合并成4,那么4剪出两个2得到的乘积是4,比1*3大,因此这种情况下,需要将3的个数减少1,变成两个2;如果余数是2,那么无需做修改。
可以得到最大的乘积是:3^timesOf3 * 2^timesOf2
相比动态规划,计算更简便,但是需要一定的数学技巧。
需求二:
切割杆,现有长度为n的杆,价值数组是prices[],数组长度是n,已知长度i对应的价值是prices[i-1],比如长度1对应的价值数是prices[0]。将其切割,求碎片的最大价值。
分析:
假设第一刀切下来是i,那么剩下的是n-i,假设f(n)代表切割n所能获得的最大价值,那么f(n)=max{f(i)+f(n-i)},因此大问题可以分解成小问题,并且同剪绳子问题,大问题的最优解包括小问题的最优解,那么可以求出小问题的最优解,存到数组中,在求大问题最优解时就可以直接从数组中获取,最终获得最优解。
f(0)=0
f(1)=prices[0]
f(2)=max{prices[1], f(1)+f(1)}
f(3)=max{prices[2], f(1)+f(2)}
f(4)=max{prices[3], f(1)+f(3), f(2)+f(2)}
…
f(n)=max{prices[n-1], f(1)+f(n-1), f(2)+f(n-2), …, f(i)+f(n-i), …}
对于f(n),为了保证f(i)+f(n-i)不重复,需要保证i<=n/2,这也是循环次数限制条件,在1~n/2范围内求解。
代码:
import java.util.*;
class Cut
{
//剪绳子的动态规划算法
public int cutRope1(int n){
//异常处理
if(n < 0)
throw new IllegalArgumentException("Illegal Paramters");
if(n < 2)
return 0;
if(n == 2)
return 1;
if(n == 3)
return 2;
//创建数组存储子问题最优解
int[] mul = new int[n+1];
mul[0]=0;
mul[1]=1;
mul[2]=2;
mul[3]=3;
for(int i = 4; i <= n; i++){
int max = 0;
for(int j = 1; j <= i/2; j++){
int temp = mul[j]*mul[i-j];
if(max < temp)
max = temp;
}
mul[i] = max;
}
return mul[n];
}
//如果允许不剪操作,那么受影响的只是n=1,n=2,n=3
public int cutRope2(int n){
if(n < 0)
throw new IllegalArgumentException("Illegal Paramters");
if(n == 0)
return 0;
if(n == 1)
return 1;
int[] mul = new int[n+1];
mul[0]=0;
mul[1]=1;
for(int i = 2; i <= n; i++){
int max = i;
for(int j = 1; j <= i/2; j++){
int temp = mul[j]*mul[i-j];
if(max < temp)
max = temp;
}
mul[i] = max;
}
return mul[n];
}
//贪心算法
public int cutRope3(int n){
//异常处理
if(n < 0)
throw new IllegalArgumentException("Illegal Paramters");
if(n < 2)
return 0;
if(n == 2)
return 1;
if(n == 3)
return 2;
int timesOf3 = n/3;
//如果剩余1,那么将1和一个3组成4可得到最大乘积
if(n - timesOf3*3 == 1)
timesOf3 -= 1;
int timesOf2 = (n - timesOf3*3) / 2;
return (int)Math.pow(3, timesOf3)*(int)Math.pow(2, timesOf2);
}
//切割杆
public int maxValue(int[] prices, int n){
//异常处理
if(prices == null || prices.length != n)
throw new IllegalArgumentException("Illegal Paramters");
if(prices.length == 0)
return 0;
//存储小问题的最优解
int[] value = new int[n+1];
for(int i = 1; i <= n; i++){
int max = prices[i-1];
for(int j = 1; j <= i/2; j++){
int temp = value[j]+value[i-j];
if(max < temp)
max = temp;
}
value[i] = max;
}
return value[n];
}
}
class CutDemo{
public static void main(String[] args){
Scanner scan = new Scanner(System.in);
Cut cut = new Cut();
//测试剪绳子
System.out.println("请输入绳子的长度:");
int len = scan.nextInt();
System.out.println("长度"+len+"绳子剪成若干段(至少两段)后的乘积最大值:"+cut.cutRope1(len));
System.out.println("长度"+len+"绳子剪成若干段(可以不剪)后的乘积最大值:"+cut.cutRope2(len));
System.out.println("长度"+len+"绳子剪成若干段(至少两段)后的乘积最大值:"+cut.cutRope3(len));
//测试切割杆
System.out.println("请输入杆的长度:");
int n = scan.nextInt();
int[] prices = new int[n];
for(int i = 0; i < n; i++)
{
System.out.print("prices["+i+"] = ");
prices[i] = scan.nextInt();
}
System.out.println("杆切割之后的最大价值为:"+cut.maxValue(prices, n));
}
}