部分转自：http://blog.csdn.net/liufeng_king/article/details/8711928

背包问题

     (1)0-1背包问题：给定n种物品和一个背包。物品i的重量是Wi，其价值为Vi，背包的容量为C。应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大?
     注：在选择装入背包的物品时，对每种物品i只有2种选择，即装入背包或不装入背包。不能将物品i装入背包多次，也不能只装入部分的物品i。

      0-1背包问题可用动态规划算法来求解，具体过程可参看笔者博文《动态规划 金矿模型 01背包问题》。

     (2)背包问题：与0-1背包问题类似，所不同的是在选择物品i装入背包时，可以选择物品i的一部分，而不一定要全部装入背包，1≤i≤n。
     这2类问题都具有最优子结构性质，极为相似，但背包问题可以用贪心算法求解，而0-1背包问题却不能用贪心算法求解。用贪心算法解背包问题的基本步骤是，首先计算每种物品单位重量的价值Vi/Wi，然后，依贪心选择策略，将尽可能多的单位重量价值最高的物品装入背包。若将这种物品全部装入背包后，背包内的物品总重量未超过C，则选择单位重量价值次高的物品并尽可能多地装入背包。依此策略一直地进行下去，直到背包装满为止。

     具体代码如下：

[cpp] view plain copy

    //4d2 贪心算法 背包问题  
    #include "stdafx.h"  
    #include <iostream>   
    using namespace std;   
      
    const int N = 3;  
      
    void Knapsack(int n,float M,float v[],float w[],float x[]);  
      
    int main()  
    {  
        float M = 50;//背包所能容纳的重量  
        //这里给定的物品按单位价值减序排序  
        float w[] = {0,10,20,30};//下标从1开始  
        float v[] = {0,60,100,120};  
      
        float x[N+1];  
      
        cout<<"背包所能容纳的重量为："<<M<<endl;  
        cout<<"待装物品的重量和价值分别为："<<endl;  
        for(int i=1; i<=N; i++)  
        {  
            cout<<"["<<i<<"]:("<<w[i]<<","<<v[i]<<")"<<endl;  
        }  
          
        Knapsack(N,M,v,w,x);  
      
        cout<<"选择装下的物品比例如下："<<endl;  
        for(int i=1; i<=N; i++)  
        {  
            cout<<"["<<i<<"]:"<<x[i]<<endl;  
        }  
      
        return 0;  
    }  
      
    void Knapsack(int n,float M,float v[],float w[],float x[])  
    {  
        //Sort(n,v,w);//这里假定w[],v[]已按要求排好序  
        int i;  
        for (i=1;i<=n;i++)  
        {  
            x[i]=0;//初始化数组x[]  
        }  
      
        float c=M;  
        for (i=1;i<=n;i++)//物品整件被装下,x[i]=1  
        {  
            if (w[i]>c)  
            {  
                break;  
            }  
            x[i]=1;  
            c-=w[i];  
        }  
      
        //物品i只有部分被装下  
        if (i<=n)  
        {  
            x[i]=c/w[i];  
        }  
    }  

     程序运行结果为：

     算法knapsack的主要计算时间在于将各种物品依其单位重量的价值从大到小排序。因此，算法的计算时间上界为O(nlogn)。为了证明算法的正确性，还必须证明背包问题具有贪心选择性质。这种贪心选择策略对0-1 背包问题就不适用了。看下图例子，其中有3中物品，背包的容量为50千克。物品1重10千克；价值60元；物品2重20千克；价值100元；物品3重30千克，价值120元。因此，物品1每千克价值6元，物品2每千克价值5元，物品3每千克价值4元。若依贪心选择策略，应首先选择物品1装入背包，然而从图b中各种情况可以看出，最优的选择方案是选择物品2和物品3装入背包。首选物品1的两种方案都不是最优的。对于背包问题，贪心选择最终可得到最优解，其选择方案如图c所示。

     对于0-1背包问题，贪心选择之所以不能得到最优解是因为在这种情况下，它无法保证最终能将背包装满，部分闲置的背包空间使每公斤背包空间的价值降低了。事实上，在考虑0-1背包问题时，应比较选择该物品和不选择该物品所导致的最终方案，然后再作出最好选择。由此就导出许多互相重叠的子问题。这正是该问题可用动态规划算法求解的另一重要特征。