考虑用最少的硬币找n美分零钱的问题。假设每种硬币的面额都是整数。

A.设计贪心算法求解找零问题，假定有25美分、10美分、5美分和1美分4种面额的硬币。证明你的算法能找到最优解。

B.假定硬币的面额是c的幂，即面额c0,c1,…,ck,c和k为整数，c>1,k>=1.证明：贪心算法总能得到最优解。

C.设计一组硬币面额，使得贪心算法不能保证得到最优解。这组硬币面额中应该包含1美分，使得对每个零钱值都存在找零方案。

D.设计一个O(nk)时间的找零算法，适用于任何k种不同面额的硬币，假定问题包含1美分硬币。

A：

分析——

引理1（离散数学其及应用3.1.4）：若n是正整数，则用25美分、10美分、5美分和1美分等尽可能少的硬币找出的n美分零钱中，至多有2个10美分、至多有1个5美分、至多有4个1美分硬币，而不能有2个10美分和1个5美分硬币。用10美分、5美分和1美分硬币找出的零钱不能超过24美分。

证用反证法。证明如果有超过规定数目的各种类型的硬币，就可以用等值的数目更少的硬币来替换。注意，如果有3个10美分硬币，就可以换成1个25美分和1个5美分硬币；如果有2个5美分硬币，就可以换成1个10美分硬币；如果有5个1美分硬币，就可以换成1个5美分硬币；如果有2个10美分和1个5美分硬币，就可以换成1个25美分硬币。由于至多可以有2个10美分、1个5美分和4个1美分硬币，而不能有2个10美分和1个5美分硬币，所以当用尽可能少的硬币找n美分零钱时，24美分就是用10美分、5美分和1美分硬币能找出的最大值。

假设存在正整数n，使得有办法将25美分、10美分、5美分和1美分硬币用少于贪心算法所求出的硬币去找n美分零钱。首先注意，在这种找n美分零钱的最优方式中使用25美分硬币的个数q′，一定等于贪心算法所用25美分硬币的个数。为说明这一点，注意贪心算法使用尽可能多的25美分硬币，所以q′≤q。但是q′也不能小于q。假如q′小于q，需要在这种最优方式中用10美分、5美分和1美分硬币至少找出25美分零钱。而根据引理1，这是不可能的。由于在找零钱的这两种方式中一定有同样多的25美分硬币，所以在这两种方式中10美分、5美分和1美分硬币的总值一定相等，并且这些硬币的总值不超过24美分。10美分硬币的个数一定相等，因为贪心算法使用尽可能多的10美分硬币。而根据引理1，当使用尽可能少的硬币找零钱时，至多使用1个5分硬币和4个1分硬币，所以在找零钱的最优方式中也使用尽可能多的10美分硬币。类似地，5美分硬币的个数相等；最终，1美分的个数相等。

B：

分析——同A题，由于1+c1+c2+c3+…ck-1=ck – 1<ck,故当n大于ck时，可以分解为ck与n-ck的值，其中ck只用一个硬币值为ck的硬币就能得到最少硬币数，而子问题变成n-ck的最少硬币数，依次类推，贪心算法总能得到最好的结果。

   C:

分析——要分析什么情况下贪心算法无效，如果出现一组硬币25，6，5，1.由于1+5=6，当遇到10元时，按照贪心算法将分解为6+4*1，而其实为2*5.

D：

动态规划算法很适合。