Combination Sum I

Given a set of candidate numbers (C) and a target number (T), find all unique combinations in C where the candidate numbers sums to T.

The same repeated number may be chosen from C unlimited number of times.

Note: All numbers (including target) will be positive integers. Elements in a combination (a1, a2, … , ak) must be in non-descending order. (ie, a1 ≤ a2 ≤ … ≤ ak). The solution set must not contain duplicate combinations. For example, given candidate set 2,3,6,7 and target 7, A solution set is:

[7] 
[2, 2, 3]

深度优先搜索

复杂度

时间 O(N!) 空间 O(N) 递归栈空间

思路

因为我们可以任意组合任意多个数，看其和是否是目标数，而且还要返回所有可能的组合，所以我们必须遍历所有可能性才能求解。为了避免重复遍历，我们搜索的时候只搜索当前或之后的数，而不再搜索前面的数。因为我们先将较小的数计算完，所以到较大的数时我们就不用再考虑有较小的数的情况了。这题是非常基本且典型的深度优先搜索并返回路径的题。本题需要先排序，不然过不了Leetcode。

注意

要先问清楚什么样的组合是有效的，比如该题，是可以连续选择同一个数加入组合的。

代码

public class Solution {
    
    List<List<Integer>> res;
    
    public List<List<Integer>> combinationSum(int[] candidates, int target) {
        res = new LinkedList<List<Integer>>();
        List<Integer> tmp = new LinkedList<Integer>();
        // 先将数组排序避免重复搜素
        Arrays.sort(candidates);
        helper(candidates, target, 0, tmp);
        return res;
    }
    
    private void helper(int[] nums, int target, int index, List<Integer> tmp){
        // 如果当前和已经大于目标，说明该路径错误 
        if(target < 0){
            return;
        // 如果当前和等于目标，说明这是一条正确路径，记录该路径
        } else if(target == 0){
            List<Integer> oneComb = new LinkedList<Integer>(tmp);
            res.add(oneComb);
        // 否则，对剩余所有可能性进行深度优先搜索
        } else {
            // 选取之后的每个数字都是一种可能性
            for(int i = index; i < nums.length; i++){
                // 典型的先加入元素，再进行搜索，递归回来再移出元素的DFS解法 
                tmp.add(nums[i]);
                helper(nums, target - nums[i], i, tmp);
                tmp.remove(tmp.size() - 1);
            }
        }
    }
}

Combination Sum II

Given a collection of candidate numbers (C) and a target number (T), find all unique combinations in C where the candidate numbers sums to T.

Each number in C may only be used once in the combination.

Note: All numbers (including target) will be positive integers.
Elements in a combination (a1, a2, … , ak) must be in non-descending
order. (ie, a1 ≤ a2 ≤ … ≤ ak). The solution set must not contain
duplicate combinations. For example, given candidate set
10,1,2,7,6,1,5 and target 8, A solution set is:

[1, 7] 
[1, 2, 5] 
[2, 6] 
[1, 1, 6]

深度优先搜索

复杂度

时间 O(N!) 空间 O(N) 递归栈空间

思路

这题和I的区别在于同一个数只能取一次，比如数组中只有3个1，那结果中也最多只有3个1，而且结果也不能重复。所以我们在递归时首先要把下标加1，这样下轮搜索中就排除了自己。其次，对一个数完成了全部深度优先搜索后，比如对1完成了搜索，那么我们要把后面的1都跳过去。当然，跳过只是针对本轮搜索的，在对第一个1的下一轮的搜索中，我们还是可以加上第二个1。只是我们不能再以第二个1开头了而已。为了能连续跳过重复的数，这里我们必须先排序。

代码

public class Solution {
    
    List<List<Integer>> res;
    
    public List<List<Integer>> combinationSum2(int[] candidates, int target) {
        res = new LinkedList<List<Integer>>();
        List<Integer> tmp = new LinkedList<Integer>();
        Arrays.sort(candidates);
        helper(candidates, target, 0, tmp);
        return res;
    }
    
    private void helper(int[] nums, int target, int index, List<Integer> tmp){
        if(target < 0){
            return;
        } else if(target == 0){
            List<Integer> oneComb = new LinkedList<Integer>(tmp);
            res.add(oneComb);
        } else {
            for(int i = index; i < nums.length; i++){
                tmp.add(nums[i]);
                // 递归时下标加1
                helper(nums, target - nums[i], i+1, tmp);
                tmp.remove(tmp.size() - 1);
                // 跳过本轮剩余的重复元素
                while(i < nums.length - 1 && nums[i] == nums[i + 1]){
                    i++;
                }
            }
        }
    }
}

Combination Sum III

Find all possible combinations of k numbers that add up to a number n, given that only numbers from 1 to 9 can be used and each combination should be a unique set of numbers.

Ensure that numbers within the set are sorted in ascending order.

Example 1:

Input: k = 3, n = 7

Output:

[[1,2,4]]

Example 2:

Input: k = 3, n = 9

Output:

[[1,2,6], [1,3,5], [2,3,4]]

深度优先搜索

复杂度

时间 O(9!) 空间 O(9) 递归栈空间

思路

这题其实是II的简化版，设想一个[1,2,3,4,5,6,7,8,9]的数组，同样一个元素只能取一次，但是已经预先确定没有重复了。所以可以省去跳过重复元素的部分。不过，我们在递归的时候要加一个额外的变量k来控制递归的深度，一旦超过了预设深度，就停止该分支的搜索。本质上是有限深度优先搜索。

代码

public class Solution {
    
    List<List<Integer>> res;
    
    public List<List<Integer>> combinationSum3(int k, int n) {
        res = new LinkedList<List<Integer>>();
        List<Integer> tmp = new LinkedList<Integer>();
        helper(k, n, 1, tmp);
        return res;
    }
    
    private void helper(int k, int target, int i, List<Integer> tmp){
        if(target < 0 || k < 0){
            return;
        } else if (target == 0 && k == 0){
            List<Integer> oneComb = new LinkedList<Integer>(tmp);
            res.add(oneComb);
        } else {
            for(int j = i; j <= 9; j++){
                tmp.add(j);
                helper(k-1, target-j, j+1, tmp);
                tmp.remove(tmp.size() - 1);
            }
        }
    }
}