N-Queens I
The n-queens puzzle is the problem of placing n queens on an n×n chessboard such that no two queens attack each other.
Given an integer n, return all distinct solutions to the n-queens puzzle.
Each solution contains a distinct board configuration of the n-queens’ placement, where ‘Q’ and ‘.’ both indicate a queen and an empty space respectively.
For example, There exist two distinct solutions to the 4-queens puzzle:
[ [".Q..", // Solution 1 "...Q", "Q...", "..Q."], ["..Q.", // Solution 2 "Q...", "...Q", ".Q.."] ]
![《[Leetcode] N-Queens N皇后》](http://ddrvcn.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/2019/3/ZF7Nrm.png)
暴力法
复杂度
时间 O(N^3) 空间 O(N)
思路
因为n皇后问题中，同一列不可能有两个皇后，所以我们可以用一个一维数组来表示二维棋盘上皇后的位置。一维数组中每一个值的下标代表着对应棋盘的列，每一个值则是那一列中皇后所在的行。这样我们可以只对一个一维数组进行深度优先搜索，来找出对于每一列，我们的皇后应该放在哪一行。在下一轮搜索之前，我们先检查一下新构成的数组是否是有效的，这样可以剪掉不必要的分支。检查的方法则是看之前排好的每一个皇后是否冲突。
代码
public class Solution {
List<List<String>> res;
public List<List<String>> solveNQueens(int n) {
res = new LinkedList<List<String>>();
int[] nqueens = new int[n];
helper(nqueens, n, 0);
return res;
}
public void helper(int[] nqueens, int n, int i){
if(i == nqueens.length){
List<String> one = new LinkedList<String>();
// 构成表示整个棋盘的字符串
for(int num : nqueens){
// 构成一个形如....Q....的字符串
StringBuilder sb = new StringBuilder();
for(int j = 0; j < num; j++){
sb.append('.');
}
sb.append('Q');
for(int j = num + 1; j < n; j++){
sb.append('.');
}
one.add(sb.toString());
}
res.add(one);
} else {
//选择下一列的数字
// 比如之前已经选了13xxxxxx，下一列可以选6，形成136xxxxx
for(int num = 0; num < n; num++){
nqueens[i] = num;
// 如果是有效的，继续搜索
if(isValid(nqueens, i)){
helper(nqueens, n, i+1);
}
}
}
}
private boolean isValid(int[] nqueens, int i){
for(int idx = 0; idx < i; idx++){
// 检查对角线只要判断他们差的绝对值和坐标的差是否相等就行了
if(nqueens[idx] == nqueens[i] || Math.abs(nqueens[idx] - nqueens[i]) == i - idx){
return false;
}
}
return true;
}
}集合法
复杂度
时间 O(N^2) 空间 O(N)
思路
该方法的思路和暴力法一样，区别在于，之前我们判断一个皇后是否冲突，是遍历一遍当前皇后排列的列表，看每一个皇后是否冲突。这里，我们用三个集合来保存之前皇后的信息，就可以O(1)时间判断出皇后是否冲突。三个集合分别是行集合，用于存放有哪些行被占了，主对角线集合，用于存放哪个右上到左下的对角线被占了，副对角线集合，用于存放哪个左上到右下的对角线被占了。如何唯一的判断某个点所在的主对角线和副对角线呢？我们发现，两个点的行号加列号的和相同，则两个点在同一条主对角线上。两个点的行号减列号的差相同，则两个点再同一条副对角线上。
注意
主对角线row + col，副对角线row - col
代码
public class Solution {
List<List<String>> res = new LinkedList<List<String>>();;
Set<Integer> rowSet = new HashSet<Integer>();
Set<Integer> diag1Set = new HashSet<Integer>();
Set<Integer> diag2Set = new HashSet<Integer>();
public List<List<String>> solveNQueens(int n) {
helper(new LinkedList<Integer>(), n, 0);
return res;
}
public void helper(LinkedList<Integer> tmp, int n, int col){
if(col == n){
List<String> one = new LinkedList<String>();
for(Integer num : tmp){
StringBuilder sb = new StringBuilder();
for(int j = 0; j < num; j++){
sb.append('.');
}
sb.append('Q');
for(int j = num + 1; j < n; j++){
sb.append('.');
}
one.add(sb.toString());
}
res.add(one);
} else {
// 对于列col，看皇后应该放在第几行
for(int row = 0; row < n; row++){
int diag1 = row + col;
int diag2 = row - col;
// 如果三条线上已经有占据的皇后了，则跳过该种摆法
if(rowSet.contains(row) || diag1Set.contains(diag1) || diag2Set.contains(diag2)){
continue;
}
// 用回溯法递归求解
tmp.add(row);
rowSet.add(row);
diag1Set.add(diag1);
diag2Set.add(diag2);
helper(tmp, n, col + 1);
diag2Set.remove(diag2);
diag1Set.remove(diag1);
rowSet.remove(row);
tmp.removeLast();
}
}
}
}N-Queens II
Follow up for N-Queens problem.
Now, instead outputting board configurations, return the total number of distinct solutions.
暴力法
复杂度
时间 O(N^3) 空间 O(N)
思路
跟I的解法一样，只不过把原本构造字符串的地方换成了计数器加一。
代码
public class Solution {
List<List<String>> res;
int cnt = 0;
public int totalNQueens(int n) {
int[] nqueens = new int[n];
helper(nqueens, n, 0);
return cnt;
}
public void helper(int[] nqueens, int n, int i){
if(i == nqueens.length){
cnt++;
} else {
for(int num = 0; num < n; num++){
nqueens[i] = num;
if(isValid(nqueens, i)){
helper(nqueens, n, i+1);
}
}
}
}
private boolean isValid(int[] nqueens, int i){
for(int idx = 0; idx < i; idx++){
if(nqueens[idx] == nqueens[i] || Math.abs(nqueens[idx] - nqueens[i]) == i - idx){
return false;
}
}
return true;
}
}集合法
复杂度
时间 O(N^2) 空间 O(N)
思路
跟I的解法一样，只不过把原本构造字符串的地方换成了计数器加一。
代码
public class Solution {
Set<Integer> rowSet = new HashSet<Integer>();
Set<Integer> diag1Set = new HashSet<Integer>();
Set<Integer> diag2Set = new HashSet<Integer>();
int cnt = 0;
public int totalNQueens(int n) {
helper(n, 0);
return cnt;
}
public void helper(int n, int col){
if(col == n){
cnt++;
} else {
for(int row = 0; row < n; row++){
int diag1 = row + col;
int diag2 = row - col;
if(rowSet.contains(row) || diag1Set.contains(diag1) || diag2Set.contains(diag2)){
continue;
}
rowSet.add(row);
diag1Set.add(diag1);
diag2Set.add(diag2);
helper(n, col + 1);
diag2Set.remove(diag2);
diag1Set.remove(diag1);
rowSet.remove(row);
}
}
}
}
