本文参考自：http://ufldl.stanford.edu/wiki/index.php…
原翻译版本有些不易理解的地方，用自己的语言写了一次。
有监督的神经网络需要我们的数据是有标注（Labeled）的，然而神经网络并不止限于处理有标注的数据，同时还能处理无标注的数据，形如：$${x^{(1)},x^{(2)},x^{(3)},…} 其中 \ x^{(i)}\in{\mathbb{R}^n}$$
其中的一种算法叫做AutoEncoder——自编码网络。
自编码网络模型
自编码网络的结构如下图所示：
网络中最左侧蓝色的节点是输入层，最右侧黄色的一列神经元是输出层。
输出层的神经元数量完全等于输入层神经元的数量。 隐藏层的神经元数量少于输出层。
自编码网络的作用是，将输入样本压缩到隐藏层，再在输出端重建样本。也就是说，自编码网络输出层与输入层存在如下关系：
$$\hat{x_i} \approx x_i $$
注意：由于神经元的输出只在0和1之间，因此输入需要进行均值归一化
自编码网络可以看做将数据进行压缩（由原来的“n-维”压缩成“m维”（m=隐藏层神经元数目）），然后再在需要的时候用损失尽量小的方式将数据恢复出来。
这里有两层意思:
第一，自编码网络是要将经过压缩的数据还原，即将我们将学习一组
$$h_{W,b} \approx x$$ 这是算法要学习的参数。
第二，还原数据应该使得损失尽量小，也就规定了我们的目标函数：
$$J(W,b) = \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m{(\hat{x} – x)^2} $$
数据压缩原理
压缩：限制隐藏层神经元数量
限制隐藏层的神经元数量，就可以得到压缩的效果。例如：输入x是10*10图片的像素灰度值，即x是100维向量。输入层大小n=100。我们令隐藏层大小 s_2=50 ,那么隐藏层的输出a2是一个50维向量，网络的输出层必须使用这个50维向量来重建100维的输入。即实现了数据压缩。
压缩原理
数据压缩依靠的是数据本身是有冗余信息的。当输入是完全随机，相互独立同分布的时候，网络将很难习得一个有效的压缩模型，然而现实中的数据（自然图像、语言、声音）总是存在不同程度的冗余性。自编码网络通过学习发现并去掉了这些冗余信息。实际上，自编码网络学习出的低维数据表示十分类似于PCA（主成分分析）学习出的主成分。
压缩：限制隐藏层的稀疏性
另一种方式是限制隐藏层的稀疏性。首先定义稀疏性：
稀疏性— 神经元总是使用一个激活函数，通常使用Sigmoid或者tanh函数，它们在输入很大的时候，趋于正无穷输出接近1的数，称该神经元为“激活状态”；在输入很小，趋于负无穷的时候分别输出0和-1，称该神经元为“非激活状态”。稀疏性要求隐藏层中的激活神经元是“稀疏”的——即大部分神经元处于非激活状态。
$$ 在神经网络中，常用 a_j^{(2)} 表示第2层第j个神经元的输出,为表示输出和某个输入相关，记为a_j^{(2)}(x^{(i)})$$
令
$$ \hat{\rho}_j = \frac{1}{m}\sum_{i=1}^m[a_j^{(2)}(x^{(i)})] \quad 为隐藏层第j个单元对所有输入样本的输出的平均值$$
那么稀疏性限制可以限制：
$$ \hat{\rho} = \rho 此处 \rho 为稀疏参数,通常用一个接近于0的常数代替(例如\ \rho=0.05)$$
为了保证ρj不偏离ρ，需要设置惩罚函数。
$$J(W,b) = \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m{(\hat{x} – x)^2} + PenalTerm$$
$$PenalTerm = \sum_{j=1}^{s_2}\rho·log\frac{\rho}{\rho_j}+(1-\rho)log\frac{1-\rho}{1-\rho_j}$$
惩罚函数以相对熵(K-L Divergence)的形式给出。
注：K-L Divergence用于表示两个函数的差别,其定义为
$$ KL(f(x)||g(x))= \sum_{x\in X}f(x)\cdot log \frac{f(x)}{g(x)}$$
相对熵的性质：ρ与ρj相等时为0，随着偏差增大，相对熵增大，其图像如下图：
训练的注意事项
在BP步骤中，对隐藏层进行权值更新需要计算：
$$\delta_i^{(2)} = (\sum_{j=1}^{s_2} W_{ji}^{(2)} \delta_j^{(3)})f`(z_i^{(2)}）$$事实上可以用下式计算：
$$\delta_i^{(2)} = ((\sum_{j=1}^{s_2} W_{ji}^{(2)} \delta_j^{(3)}) + \beta(\frac{\rho}{\rho_j}+\frac{1-\rho}{1-\rho_j})) f`(z_i^{(2)}）$$
注意：在网络训练中，前向传播步骤应同时计算ρ，然后在后向传播步骤时做相应的修改。这样，每次前向传播的步骤计算量就增大了一倍。
