本文转载自我的博客
在学习机器学习和图像处理的过程中，经常会遇到卷积这个概念。我每次遇到这个概念都有点似懂非懂的样子。有时候清楚它的直观解释，但又搞不清公式中是如何体现的。究其原因，还是我没有完全搞懂这个概念。
维基百科上有一个动态图来演示这个概念，但对于我来说还是有些复杂。于是自己在网上找了很多文章来研究，终于有了比较直观的印象，这里就趁热把我理解的解释一下，作为总结。
一、一维卷积
1.1 数学定义
维基百科上，卷积的形式化定义如下：
$$ f(x)*g(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau)g(x-\tau) d\tau \tag{1}\label{1} $$
1.2 初步解释
先来分析一下这个公式：
$f(x)*g(x)$ 表示 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的卷积，注意此处自变量为 $x$；
它是对 $(-\infty, \infty)$ 区间上对 $\tau$ 求积分；
积分对象为两个函数的乘积：$f(\tau)$ 和 $g(x-\tau)$。
等式右边只有 $g(x-\tau)$ 提到了 $x$，其他部分都在关注 $\tau$
这样一个公式恐怕还是难以理解，接下来将通过一个例子来进行解释。
1.3 例子
试想小明有一段时间每天都要去输液，输的药会在身体里残留直至失效，药效随着时间是不断衰落的。 这里为简便起见，假设药效 4 天就失效，而且药效持续函数是离散的。如下图所示：
图中，横坐标为天数，纵坐标为药效。输液当天（day=0）药效为 100%，第二天减弱为 80%，第三天减弱为 40%，第四天减弱为 0。
现在先定义一些符号：
记天数为 $t$，每天输液的药量为 $\operatorname{m}(t)$, 药效函数为 $\operatorname{eff}(t)$，小明身上残留的药效为 $\operatorname{rest}(t)$
其中药效函数：
$$\operatorname{eff}(t) =
\begin{cases} 100 \% & \text{t=0} \\\
80 \% & \text{t=1} \\\
40 \% & \text{t=2} \\\
0 \% & \text{t>=3} \end{cases} \\\
$$
下面观察一下小明从第一天起，连续三天输液后身上所留下的药效（假设每天药量固定为10）。
第一天，小明去医院输完液后，药效为 10（$ \operatorname{rest}(t) = \operatorname{m}(t)\cdot \operatorname{eff}(0) $）。
第一天累积的药效示意
第二天，小明去医院准备输液
输液前，他身上带着前一天的药效，此时已经衰减为 10$\cdot$ 80%=8，即 $ \operatorname{m}(t-1)\cdot \operatorname{eff}(1) $。
输液后，他身上携带的药效为：8 + 10 = 18（$ \operatorname{rest}(t) = \operatorname{m}(t-1)\cdot \operatorname{eff}(1) + \operatorname{m}(t)\cdot \operatorname{eff}(0) $）
第二天累积的药效示意
第三天，小明去医院准备输液
输液前，他身上带着前两天的药效，第一天的此时已衰减为 10$\cdot$ 40%=4（$ \operatorname{m}(t-2)\cdot \operatorname{eff}(2) $），第二天的此时衰减为 10$\cdot$ 80%=8（$ \operatorname{m}(t-1)\cdot \operatorname{eff}(1) $）。
输液后，他身上携带的药效为：4 + 8 + 10 = 22（$ \operatorname{rest}(t) = \operatorname{m}(t-2)\cdot \operatorname{eff}(2) + \operatorname{m}(t-1)\cdot \operatorname{eff}(1) + \operatorname{m}(t)\cdot \operatorname{eff}(0) $）。
第三天累积的药效示意
1.4 分析
从上面的分析我们可以得到，小明第 t 天身上残留的药效 $\operatorname{rest}(t) = \sum_{i=1}^n \operatorname{m}(t-i) \operatorname{eff}(i)$，其中 $n$ 为药效有效的最大天数。 我们不难想象，但药效函数 $\operatorname{eff}(t)$ 为连续时，上式中的求和就应改为积分；而当药效能无限期有效时，上式中 $n$ 就为 $\infty$。 无限期有效的药效函数，所对应的 $\operatorname{rest}(t) = \int_{-\infty}^\infty \operatorname{m}(t-\tau) \operatorname{eff}(\tau) \,d\tau$（本例中严格来说应该是 $\int_0^\infty$ ，这里推广到了 $(-\infty, \infty)$）。推导到这里，基本就是维基百科上卷积的定义了。
1.5 总结
我之前对卷积概念的困惑主要是因为对公式 $\ref{1}$ 的那个 $\tau$ 的意义理解错了，总以为 $\tau$ 是随着坐标轴变化的量。 事实上，在上面举的例子中，$\tau$ 是作为沿着纵坐标遍历的量：它的作用是对“纵向”上，历次函数 $\operatorname{eff}(t)$ 在当前点($t$)残余量($\operatorname{rest}(t)$)的求和。积分也是对纵向上的积分，而非横向上沿自变量的积分。
横坐标变化的量始终为 $t$，而且在卷积中并没有明显体现出 $t$ 的变化。
最后重新回顾一下上面的整个过程：
比较三天以来的示意图可以发现，如果我们以“当天”而不是第 $t$ 天为参考的话，就会看到 $\operatorname{eff}(t)$ 随着时间是在向左平移（深蓝的线表示当天，前几天的线都在其左边），然后各天衰落后的药量残余等于 $\operatorname{eff}(t)$ 值乘上初始的药量值，最后将各天的药量残余求个和。
整个过程的核心就是“（反转），移动，乘积，求和”，这里面“反转”的概念也好理解，就是本来 $\operatorname{eff}(t)$ 是“朝着右边”走的函数，$t=0,t=1,\cdots$，$\operatorname{eff}(t)$ 是形容t 天后的药量的，然而实际例子中我们是以当天为参考系，我们是在“朝着左边”看的，因而要“反转”。我认为这个“反转”是一个很自然的过程，不算是整个卷积的核心。 此外，在计算机领域，至少我接触到的图像处理、机器学习方面用到的卷积，其卷积核（就是例子中不断平移的函数 $\operatorname{eff}(t)$）一般是对称的，所以这个反转的概念也不是那么必要。
二、二维卷积
2.1 数学定义
$$ f(x, y)* g(x, y) = \int_{\tau_1=-\infty}^\infty \int_{\tau_2=-\infty}^{\infty} f(\tau_1, \tau_2) \cdot g(x-\tau_1, y-\tau_2)\,d\tau_1 d\tau_2 \tag{2} $$
二维卷积在图像处理中会经常遇到，图像处理中用到的大多是二维卷积的离散形式：
$$ f[x,y] * g[x,y] = \sum_{n_1=-\infty}^\infty \sum_{n_2=-\infty}^\infty f[n_1, n_2] \cdot g[x-n_1, y-n_2] \tag{3} $$
2.2 图像处理中的二维卷积
二维卷积就是一维卷积的扩展，原理差不多。核心还是（反转），移动，乘积，求和。这里二维的反转就是将卷积核沿反对角线翻转，比如矩阵
a b c
d e f
g h i
翻转为
i h g
f e d
c b a
之后，卷积核在二维平面上平移，并且卷积核的每个元素与被卷积图像对应位置相乘，再求和。通过卷积核的不断移动，我们就有了一个新的图像，这个图像完全由卷积核在各个位置时的乘积求和的结果组成。
举一个最简单的均值滤波的例子：
一个 3×3 的均值滤波核（卷积核）：
1/9 1/9 1/9
1/9 1/9 1/9
1/9 1/9 1/9和被卷积图像（这里简化为一个二维 5×5 矩阵）：
3 3 3 3 3
4 4 4 4 4
5 5 5 5 5
6 6 6 6 6
7 7 7 7 7
当卷积核运动到图像右下角处（卷积中心和图像对应图像第 4 行第 4 列）时，它和图像卷积的结果如下图所示：
可以看出，二维卷积在图像中的效果就是：
对图像的每个像素的邻域（邻域大小就是核的大小）加权求和得到该像素点的输出值。
滤波器核在这里是作为一个“权重表”来使用的。
参考资料：
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