图的遍历、最小生成树、最短路径

数据结构和算法系列17 图

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这一篇我们要总结的是图(Graph),图可能比我们之前学习的线性结构和树形结构都要复杂,不过没有关系,我们一点一点地来总结,那么关于图我想从以下几点进行总结:

1,图的定义?

2,图相关的概念和术语?

3,图的创建和遍历?

4,最小生成树和最短路径?

5,算法实现?

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一,图的定义

什么是图呢?

图是一种复杂的非线性结构。

在线性结构中,数据元素之间满足唯一的线性关系,每个数据元素(除第一个和最后一个外)只有一个直接前趋和一个直接后继;

在树形结构中,数据元素之间有着明显的层次关系,并且每个数据元素只与上一层中的一个元素(双亲节点)及下一层的多个元素(孩子节点)相关;

而在图形结构中,节点之间的关系是任意的,图中任意两个数据元素之间都有可能相关。

图G由两个集合V(顶点Vertex)和E(边Edge)组成,定义为G=(V,E)

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二,图相关的概念和术语

1,无向图和有向图

对于一个图,若每条边都是没有方向的,则称该图为无向图。图示如下:

《图的遍历、最小生成树、最短路径》

因此,(Vi,Vj)和(Vj,Vi)表示的是同一条边。注意,无向图是用小括号,而下面介绍的有向图是用尖括号。

无向图的顶点集和边集分别表示为:

V(G)={V1,V2,V3,V4,V5}

E(G)={(V1,V2),(V1,V4),(V2,V3),(V2,V5),(V3,V4),(V3,V5),(V4,V5)}

 

对于一个图G,若每条边都是有方向的,则称该图为有向图。图示如下。

《图的遍历、最小生成树、最短路径》

因此,<Vi,Vj>和<Vj,Vi>是两条不同的有向边。注意,有向边又称为弧。

有向图的顶点集和边集分别表示为:

V(G)={V1,V2,V3}

E(G)={<V1,V2>,<V2,V3>,<V3,V1>,<V1,V3>}

2,无向完全图和有向完全图

我们将具有n(n-1)/2条边的无向图称为无向完全图。同理,将具有n(n-1)条边的有向图称为有向完全图。

3,顶点的度

对于无向图,顶点的度表示以该顶点作为一个端点的边的数目。比如,图(a)无向图中顶点V3的度D(V3)=3

对于有向图,顶点的度分为入度和出度。入度表示以该顶点为终点的入边数目,出度是以该顶点为起点的出边数目,该顶点的度等于其入度和出度之和。比如,顶点V1的入度ID(V1)=1,出度OD(V1)=2,所以D(V1)=ID(V1)+OD(V1)=1+2=3

记住,不管是无向图还是有向图,顶点数n,边数e和顶点的度数有如下关系:

《图的遍历、最小生成树、最短路径》

因此,就拿有向图(b)来举例,由公式可以得到图G的边数e=(D(V1)+D(V2)+D(V3))/2=(3+2+3)/2=4

4,子图

故名思义,这个就不解释了。

5,路径,路径长度和回路

路径,比如在无向图G中,存在一个顶点序列Vp,Vi1,Vi2,Vi3…,Vim,Vq,使得(Vp,Vi1),(Vi1,Vi2),…,(Vim,Vq)均属于边集E(G),则称顶点Vp到Vq存在一条路径。

路径长度,是指一条路径上经过的边的数量。

回路,指一条路径的起点和终点为同一个顶点。

6,连通图(无向图)

连通图是指图G中任意两个顶点Vi和Vj都连通,则称为连通图。比如图(b)就是连通图。下面是一个非连通图的例子。

《图的遍历、最小生成树、最短路径》

上图中,因为V5和V6是单独的,所以是非连通图。

7,强连通图(有向图)

强连通图是对于有向图而言的,与无向图的连通图类似。

8,网

带”权值”的连通图称为网。如图所示。

《图的遍历、最小生成树、最短路径》

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三,图的创建和遍历

1,图的两种存储结构

1) 邻接矩阵,原理就是用两个数组,一个数组保存顶点集,一个数组保存边集。下面的算法实现里边我们也是采用这种存储结构。如下图所示:

《图的遍历、最小生成树、最短路径》

2) 邻接表,邻接表是图的一种链式存储结构。这种存储结构类似于树的孩子链表。对于图G中每个顶点Vi,把所有邻接于Vi的顶点Vj链成一个单链表,这个单链表称为顶点Vi的邻接表。

2,图的两种遍历方法

1) 深度优先搜索遍历

深度优先搜索DFS遍历类似于树的前序遍历。其基本思路是:

a) 假设初始状态是图中所有顶点都未曾访问过,则可从图G中任意一顶点v为初始出发点,首先访问出发点v,并将其标记为已访问过。

b) 然后依次从v出发搜索v的每个邻接点w,若w未曾访问过,则以w作为新的出发点出发,继续进行深度优先遍历,直到图中所有和v有路径相通的顶点都被访问到。

c) 若此时图中仍有顶点未被访问,则另选一个未曾访问的顶点作为起点,重复上述步骤,直到图中所有顶点都被访问到为止。

图示如下:

《图的遍历、最小生成树、最短路径》

注:红色数字代表遍历的先后顺序,所以图(e)无向图的深度优先遍历的顶点访问序列为:V0,V1,V2,V5,V4,V6,V3,V7,V8

如果采用邻接矩阵存储,则时间复杂度为O(n2);当采用邻接表时时间复杂度为O(n+e)。

2) 广度优先搜索遍历

广度优先搜索遍历BFS类似于树的按层次遍历。其基本思路是:

a) 首先访问出发点Vi

b) 接着依次访问Vi的所有未被访问过的邻接点Vi1,Vi2,Vi3,…,Vit并均标记为已访问过。

c) 然后再按照Vi1,Vi2,… ,Vit的次序,访问每一个顶点的所有未曾访问过的顶点并均标记为已访问过,依此类推,直到图中所有和初始出发点Vi有路径相通的顶点都被访问过为止。

图示如下:

《图的遍历、最小生成树、最短路径》

因此,图(f)采用广义优先搜索遍历以V0为出发点的顶点序列为:V0,V1,V3,V4,V2,V6,V8,V5,V7

如果采用邻接矩阵存储,则时间复杂度为O(n2),若采用邻接表,则时间复杂度为O(n+e)。

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四,最小生成树和最短路径

1,最小生成树

什么是最小生成树呢?在弄清什么是最小生成树之前,我们需要弄清什么是生成树?

用一句语简单概括生成树就是:生成树是将图中所有顶点以最少的边连通的子图。

比如图(g)可以同时得到两个生成树图(h)和图(i)

《图的遍历、最小生成树、最短路径》

知道了什么是生成树之后,我们就很容易理解什么是最小生成树了。所谓最小生成树,用一句话总结就是:权值和最小的生成树就是最小生成树

比如上图中的两个生成树,生成树1和生成树2,生成树1的权值和为:12,生成树2的权值为:14,我们可以证明图(h)生成树1就是图(g)的最小生成树。

那么如何构造最小生成树呢?可以使用普里姆算法。

2,最短路径

求最短路径也就是求最短路径长度。下面是一个带权值的有向图,表格中分别列出了顶点V1其它各顶点的最短路径长度。

《图的遍历、最小生成树、最短路径》

源点最短路径终点 路径长度
V1V1,V3,V2V2中转5
V1V1,V3V3直达3
V1V1,V3,V2,V4V4中转10
V1V1,V3,V5V5中转18

表:顶点V1到其它各顶点的最短路径表

从图中可以看出,顶点V1到V4的路径有3条(V1,V2,V4),(V1,V4),(V1,V3,V2,V4),其路径长度分别为15,20和10,因此,V1到V4的最短路径为(V1,V3,V2,V4)。

那么如何求带权有向图的最短路径长度呢?可以使用迪杰斯特拉(Dijkstra)算法。

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    原文作者:数据结构之图
    原文地址: https://blog.csdn.net/a20180825/article/details/77017538
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