Prim算法

1.概览

普里姆算法（Prim算法），图论中的一种算法，可在加权连通图里搜索最小生成树。意即由此算法搜索到的边子集所构成的树中，不但包括了连通图里的所有顶点（英语：Vertex (graph theory)），且其所有边的权值之和亦为最小。该算法于1930年由捷克数学家沃伊捷赫·亚尔尼克（英语：Vojtěch Jarník）发现；并在1957年由美国计算机科学家罗伯特·普里姆（英语：Robert C. Prim）独立发现；1959年，艾兹格·迪科斯彻再次发现了该算法。因此，在某些场合，普里姆算法又被称为DJP算法、亚尔尼克算法或普里姆－亚尔尼克算法。

2.算法简单描述

1).输入：一个加权连通图，其中顶点集合为V，边集合为E；

2).初始化：V_new = {x}，其中x为集合V中的任一节点（起始点），E_new = {},为空；

3).重复下列操作，直到V_new = V：

a.在集合E中选取权值最小的边<u, v>，其中u为集合V_new中的元素，而v不在V_new集合当中，并且v∈V（如果存在有多条满足前述条件即具有相同权值的边，则可任意选取其中之一）；

b.将v加入集合V_new中，将<u, v>边加入集合E_new中；

4).输出：使用集合V_new和E_new来描述所得到的最小生成树。

下面对算法的图例描述

图例	说明	不可选	可选	已选（Vnew）
	此为原始的加权连通图。每条边一侧的数字代表其权值。	–	–	–
	顶点D被任意选为起始点。顶点A、B、E和F通过单条边与D相连。A是距离D最近的顶点，因此将A及对应边AD以高亮表示。	C, G	A, B, E, F	D
	下一个顶点为距离D或A最近的顶点。B距D为9，距A为7，E为15，F为6。因此，F距D或A最近，因此将顶点F与相应边DF以高亮表示。	C, G	B, E, F	A, D
	算法继续重复上面的步骤。距离A为7的顶点B被高亮表示。	C	B, E, G	A, D, F
	在当前情况下，可以在C、E与G间进行选择。C距B为8，E距B为7，G距F为11。E最近，因此将顶点E与相应边BE高亮表示。	无	C, E, G	A, D, F, B
	这里，可供选择的顶点只有C和G。C距E为5，G距E为9，故选取C，并与边EC一同高亮表示。	无	C, G	A, D, F, B, E
	顶点G是唯一剩下的顶点，它距F为11，距E为9，E最近，故高亮表示G及相应边EG。	无	G	A, D, F, B, E, C
	现在，所有顶点均已被选取，图中绿色部分即为连通图的最小生成树。在此例中，最小生成树的权值之和为39。	无	无	A, D, F, B, E, C, G

3.简单证明prim算法

反证法：假设prim生成的不是最小生成树

1).设prim生成的树为G₀

2).假设存在G_min使得cost(G_min)<cost(G₀)   则在G_min中存在<u,v>不属于G₀

3).将<u,v>加入G₀中可得一个环，且<u,v>不是该环的最长边(这是因为<u,v>∈G_min)

4).这与prim每次生成最短边矛盾

5).故假设不成立，命题得证.

 4.算法代码实现(未检验)

#define MAX  100000
#define VNUM  10+1                                             //这里没有ID为0的点,so id号范围1~10

int edge[VNUM][VNUM]={/*输入的邻接矩阵*/};
int lowcost[VNUM]={0};                                         //记录Vnew中每个点到V中邻接点的最短边
int addvnew[VNUM];                                             //标记某点是否加入Vnew
int adjecent[VNUM]={0};                                        //记录V中与Vnew最邻近的点


void prim(int start)
{
     int sumweight=0;
     int i,j,k=0;

     for(i=1;i<VNUM;i++)                                      //顶点是从1开始
     {
        lowcost[i]=edge[start][i];
        addvnew[i]=-1;                                         //将所有点至于Vnew之外,V之内，这里只要对应的为-1，就表示在Vnew之外
     }

     addvnew[start]=0;                                        //将起始点start加入Vnew
     adjecent[start]=start;
                                                 
     for(i=1;i<VNUM-1;i++)                                        
     {
        int min=MAX;
        int v=-1;
        for(j=1;j<VNUM;j++)                                      
        {
            if(addvnew[j]!=-1&&lowcost[j]<min)                 //在Vnew之外寻找最短路径
            {
                min=lowcost[j];
                v=j;
            }
        }
        if(v!=-1)
        {
            printf("%d %d %d\n",adjecent[v],v,lowcost[v]);
            addvnew[v]=0;                                      //将v加Vnew中

            sumweight+=lowcost[v];                             //计算路径长度之和
            for(j=1;j<VNUM;j++)
            {
                if(addvnew[j]==-1&&edge[v][j]<lowcost[j])      
                {
                    lowcost[j]=edge[v][j];                     //此时v点加入Vnew 需要更新lowcost
                    adjecent[j]=v;                             
                }
            }
        }
    }
    printf("the minmum weight is %d",sumweight);
}

5.时间复杂度

这里记顶点数v，边数e

邻接矩阵:O(v²)                 邻接表:O(elog₂v)

Kruskal算法

1.概览

Kruskal算法是一种用来寻找最小生成树的算法，由Joseph Kruskal在1956年发表。用来解决同样问题的还有Prim算法和Boruvka算法等。三种算法都是贪婪算法的应用。和Boruvka算法不同的地方是，Kruskal算法在图中存在相同权值的边时也有效。

2.算法简单描述

1).记Graph中有v个顶点，e个边

2).新建图Graph_new，Graph_new中拥有原图中相同的e个顶点，但没有边

3).将原图Graph中所有e个边按权值从小到大排序

4).循环：从权值最小的边开始遍历每条边 直至图Graph中所有的节点都在同一个连通分量中

                if 这条边连接的两个节点于图Graph_new中不在同一个连通分量中

                                         添加这条边到图Graph_new中

图例描述：

首先第一步，我们有一张图Graph，有若干点和边 

将所有的边的长度排序，用排序的结果作为我们选择边的依据。这里再次体现了贪心算法的思想。资源排序，对局部最优的资源进行选择，排序完成后，我们率先选择了边AD。这样我们的图就变成了右图

在剩下的变中寻找。我们找到了CE。这里边的权重也是5

依次类推我们找到了6,7,7，即DF，AB，BE。

下面继续选择， BC或者EF尽管现在长度为8的边是最小的未选择的边。但是现在他们已经连通了（对于BC可以通过CE,EB来连接，类似的EF可以通过EB,BA,AD,DF来接连）。所以不需要选择他们。类似的BD也已经连通了（这里上图的连通线用红色表示了）。

最后就剩下EG和FG了。当然我们选择了EG。最后成功的图就是右：

3.简单证明Kruskal算法

对图的顶点数n做归纳，证明Kruskal算法对任意n阶图适用。

归纳基础：

n=1，显然能够找到最小生成树。

归纳过程：

假设Kruskal算法对n≤k阶图适用，那么，在k+1阶图G中，我们把最短边的两个端点a和b做一个合并操作，即把u与v合为一个点v’，把原来接在u和v的边都接到v’上去，这样就能够得到一个k阶图G'(u,v的合并是k+1少一条边)，G’最小生成树T’可以用Kruskal算法得到。

我们证明T’+{<u,v>}是G的最小生成树。

用反证法，如果T’+{<u,v>}不是最小生成树，最小生成树是T，即W(T)<W(T’+{<u,v>})。显然T应该包含<u,v>，否则，可以用<u,v>加入到T中，形成一个环，删除环上原有的任意一条边，形成一棵更小权值的生成树。而T-{<u,v>}，是G’的生成树。所以W(T-{<u,v>})<=W(T’)，也就是W(T)<=W(T’)+W(<u,v>)=W(T’+{<u,v>})，产生了矛盾。于是假设不成立，T’+{<u,v>}是G的最小生成树，Kruskal算法对k+1阶图也适用。

由数学归纳法，Kruskal算法得证。

4.代码算法实现

typedef struct          
{        
    char vertex[VertexNum];                                //顶点表         
    int edges[VertexNum][VertexNum];                       //邻接矩阵,可看做边表         
    int n,e;                                               //图中当前的顶点数和边数         
}MGraph; 
 
typedef struct node  
{  
    int u;                                                 //边的起始顶点   
    int v;                                                 //边的终止顶点   
    int w;                                                 //边的权值   
}Edge; 

void kruskal(MGraph G)  
{  
    int i,j,u1,v1,sn1,sn2,k;  
    int vset[VertexNum];                                    //辅助数组，判定两个顶点是否连通   
    int E[EdgeNum];                                         //存放所有的边   
    k=0;                                                    //E数组的下标从0开始   
    for (i=0;i<G.n;i++)  
    {  
        for (j=0;j<G.n;j++)  
        {  
            if (G.edges[i][j]!=0 && G.edges[i][j]!=INF)  
            {  
                E[k].u=i;  
                E[k].v=j;  
                E[k].w=G.edges[i][j];  
                k++;  
            }  
        }  
    }     
    heapsort(E,k,sizeof(E[0]));                            //堆排序，按权值从小到大排列       
    for (i=0;i<G.n;i++)                                    //初始化辅助数组   
    {  
        vset[i]=i;  
    }  
    k=1;                                                   //生成的边数，最后要刚好为总边数   
    j=0;                                                   //E中的下标   
    while (k<G.n)  
    {   
        sn1=vset[E[j].u];  
        sn2=vset[E[j].v];                                  //得到两顶点属于的集合编号   
        if (sn1!=sn2)                                      //不在同一集合编号内的话，把边加入最小生成树   
        {
            printf("%d ---> %d, %d",E[j].u,E[j].v,E[j].w);       
            k++;  
            for (i=0;i<G.n;i++)  
            {  
                if (vset[i]==sn2)  
                {  
                    vset[i]=sn1;  
                }  
            }             
        }  
        j++;  
    }  
}  

时间复杂度：elog₂e  e为图中的边数

 ————————————————————————————————

图的遍历是树的遍历的推广，是按照某种规则(或次序)访问图中各顶点依次且仅一次的操作，亦是将网络结构按某种规则线性化的过程。

 
由于图存在回路，为区别一顶点是否被访问过和避免顶点被多次访问，在遍历过程中，应记下每个访问过的顶点，即每个顶点对应有一个标志位，初始为False,一旦该顶点被访问，就将其置为True,以后若又碰到该顶点时，视其标志的状态，而决定是否对其访问。


对图的遍历通常有”深度优先搜索”和”广度优先搜索”方法，二者是人工智能的一个基础。


深度优先搜索(Depth First Search,简称DFS)

算法思路:


类似树的先根遍历。设初始化时，图中各顶点均未被访问，从图中某个顶点(设为V0)出发，访问V0,然后搜索V0的一个邻接点Vi,若Vi未被访问，则访问之，在 搜索Vi的一个邻接点(深度优先)…。若某顶点的邻接点全部访问完毕，则回溯(Backtracking)到它的上一顶点，然后再从此顶点又按深度优先的方法搜索下去，…，直到能访问的顶点都访问完毕为止。


设图G10如下图所示:

 
通过深度优先如下:
 
广度优先搜索(Breadth First Search),简称BFS


算法思路:


类似树的按层次遍历。初始时，图中各顶点均未被访问，从图中某顶点(V0)出发，访问V0,并依次访问V0的各邻接点(广度优先)。然后，分别从这些被访问过的顶点出发，扔仍按照广度优先的策略搜索其它顶点,….,直到能访问的顶点都访问完毕为止。


为控制广度优先的正确搜索，要用到队列技术，即访问完一个顶点后，让该顶点的序号进队。然后取相应队头(出队),考察访问过的顶点的各邻接点，将未访问过的邻接点访问 后再依次进队，…,直到队空为止。


通过广度优先如下:  

下面看一下实现代码:

1. #include <stdio.h>
   
2. #include <stdlib.h>
3. #include <string.h>
5. #define MAX 20
7. //访问记录
8. int visit[MAX];
10. //图的结构设计
11. typedef struct
12. {
13.     int vex[MAX];//记录顶点
14.     int adjmatrix[MAX][MAX];//邻接矩阵
15.     int n;//顶点的个数
16. }GRAPH;
18. //初始化图
19. int init_graph(GRAPH *pG)
20. {
22.     memset(pG,0,sizeof(GRAPH));
23.     pG–>n = –1;
25.     printf(“input vex\n”);
26.     while(scanf(“%d”,&pG–>vex[++pG–>n]));
27.     while(getchar() != ‘\n‘);
29. #ifndef _DEBUG_
30.     int i = 0;
32.     for(i = 0;i < pG–>n ;i ++)
33.     {
34.         printf(“V%d “,pG–>vex[i]);
35.     }
37.     printf(“\n”);    
38. #endif
39.     
40.     return 0;
41. }
43. //获取顶点的位置
44. int locatevex(GRAPH *pG,int vex)
45. {
46.     int i = 0;
48.     for(i = 0;i < pG–>n;i ++)
49.     {
50.         if(pG–>vex[i] == vex )
51.             return i;
52.     }
53.     
54.     return 0;
55. }
57. //输入图的顶点之间的边
58. int input_edge(GRAPH *pG)
59. {
60.     int vex1,vex2;
61.     int i,j;
63.     printf(“input edge(i,j):\n”);
64.     //任意字母键结束
65.     while(scanf(“(%d,%d)”,&vex1,&vex2))
66.     {
67.         getchar();
68.         i = locatevex(pG,vex1);
69.         j = locatevex(pG,vex2);
70.         pG–>adjmatrix[i][j] = pG–>adjmatrix[j][i] = 1;
71.     }
73. #ifndef _DEBUG_
74.     int m,n;
76.     for(m = 0;m < pG–>n;m ++)
77.     {
78.         for(n = 0;n < pG–>n; n ++)
79.         {
80.             printf(“%d “,pG–>adjmatrix[m][n]);
81.         }
83.         printf(“\n”);
84.     }
86. #endif
88.     return 0;
89. }
91. //栈的设计
92. typedef struct
93. {
94.     int buf[MAX];
95.     int n;
96. }Stack;
98. //创建空栈
99. Stack *create_empty_stack()
100. {
101.     Stack *stack;
103.     stack = (Stack *)malloc(sizeof(Stack));
104.     stack–>n = –1;
106.     return stack;
107. }
109. //出栈
110. int pop_stack(Stack *stack)
111. {
112.     int temp;
114.     temp = stack–>buf[stack–>n];
115.     stack–>n ––;
117.     return temp;
118. }
120. //入栈
121. int push_stack(Stack *stack,int data)
122. {
123.     stack–>n ++;
124.     stack–>buf[stack–>n] = data;
126.     return 0;
127. }
129. //判断空栈
130. int is_empty_stack(Stack *stack)
131. {
132.     if(stack–>n == –1)
133.         return 1;
134.     else
135.         return 0;
136. }
138. int visit_all(GRAPH *pG)
139. {
140.     int i = 0;
141.     
142.     for(i = 0;i < pG–>n; i ++)
143.     {
144.         if(visit[i] != 1)
145.             break;
146.     }
148.     if(i == pG–>n)
149.         return 1;
150.     else
151.         return 0;
152. }
154. //图的深度非递归遍历
155. int DFS(GRAPH *pG,int v)
156. {
157.     Stack *stack;
158.     int i = 0;
159.     
160.     stack = create_empty_stack();
161.     push_stack(stack,pG–>vex[v]);
162.     visit[v] = 1;
163.     printf(“V%d “,pG–>vex[v]);
164.     
165.     while(!is_empty_stack(stack) || !visit_all(pG))
166.     {
167.         for(i = 0;i < pG–>n;i ++)
168.         {
169.             if(visit[i] == 0 && pG–>adjmatrix[v][i] == 1)
170.                 break;
171.         }
173.         if(i == pG–>n)
174.         {
175.             v = pop_stack(stack);
176.             
177.         }else{
178.         
179.             v = i;
180.             push_stack(stack,pG–>vex[v]);
181.             visit[v] = 1;
182.             printf(“V%d “,pG–>vex[v]);
183.         }
184.     }
186.     printf(“\n”);
188.     return 0;
189. }
191. //队列的设计
192. typedef struct node
193. {
194.     int data;
195.     struct node *next;
196.     
197. }ListNode;
199. typedef struct
200. {
201.     ListNode *front;
202.     ListNode *rear;
203. }Queue;
205. //创建空队列
206. Queue *create_empty_queue()
207. {
208.     Queue *queue;
209.     ListNode *head;
211.     queue = (Queue *)malloc(sizeof(Queue));
212.     head = (ListNode *)malloc(sizeof(ListNode));
214.     queue–>front = queue–>rear = head;
216.     return queue;
217. }
219. //判断队列是否为空
220. int is_empty_queue(Queue *queue)
221. {
222.     if(queue–>rear == queue–>front)
223.         return 1;
224.     else
225.         return 0;
226. }
228. //入队
229. int EnterQueue(Queue *queue,int data)
230. {
231.     ListNode *temp;
233.     temp = (ListNode *)malloc(sizeof(ListNode));
234.     temp–>data = data;
235.     temp–>next = NULL;
237.     queue–>rear–>next = temp;
238.     queue–>rear = temp;
240.     return 0;
241. }
243. //出队
244. int DelQueue(Queue *queue)
245. {
246.     ListNode *temp;
248.     temp = queue–>front;
249.     queue–>front = queue–>front–>next;
250.     free(temp);
251.     temp = NULL;
253.     return queue–>front–>data;
254. }
256. //图的广度遍历
257. int BFS(GRAPH *pG,int v)
258. {
259.     Queue *queue = create_empty_queue();
260.     int i = 0;
261.     
262.     memset(&visit,0,sizeof(visit));
264.     EnterQueue(queue,v);
265.     visit[v] = 1;
267.     while(!is_empty_queue(queue))
268.     {
269.         v = DelQueue(queue);
270.         printf(“V%d “,pG–>vex[v]);
271.                 
272.         
273.         for(i = 0;i < pG–>n;i ++)
274.         {
275.             if(visit[i] == 0 && pG–>adjmatrix[v][i] == 1)
276.             {
277.                 EnterQueue(queue,i);
278.                 visit[i] = 1;
279.             }
280.         }
281.     }
283.     printf(“\n”);
285.     return 0;
286. }
288. int main()
289. {
290.     GRAPH G;
291.     int n;
293.     //输入顶点，初始化图
294.     init_graph(&G);
296.     //初始化邻接矩阵
297.     input_edge(&G);
299.     //图的深度遍历
300.     DFS(&G, 0);
302.     //图的广度遍历
303.     BFS(&G,0);
304.     
305.     return 0;
306. }

输出结果: