图的遍历：深度优先、广度优先

遍历

    图的遍历是指从图中的某一顶点出发，按照一定的策略访问图中的每一个顶点。当然，每个顶点有且只能被访问一次。

    在图的遍历中，深度优先和广度优先是最常使用的两种遍历方式。这两种遍历方式对无向图和有向图都是适用的，并且都是从指定的顶点开始遍历的。先看下两种遍历方式的遍历规则：

深度优先

    深度优先遍历也叫深度优先搜索(Depth First Search)。它的遍历规则：不断地沿着顶点的深度方向遍历。顶点的深度方向是指它的邻接点方向。

    具体点，给定一图G=<V,E>，用visited[i]表示顶点i的访问情况，则初始情况下所有的visited[i]都为false。假设从顶点V0开始遍历，则下一个遍历的顶点是V0的第一个邻接点Vi，接着遍历Vi的第一个邻接点Vj，……直到所有的顶点都被访问过。

    所谓的第一个是指在某种存储结构中(邻接矩阵、邻接表)，所有邻接点中存储位置最近的，通常指的是下标最小的。在遍历的过程中有两种情况经常出现

1. 某个顶点的邻接点都已被访问过的情况，此时需回溯已访问过的顶点。
2. 图不连通，所有的已访问过的顶点都已回溯完了，仍找不出未被访问的顶点。此时需从下标0开始检测visited[i]，找到未被访问的顶点i，从i开始新一轮的深度搜索。

看一个例子


从V
0
开始遍历
    遍历分析：V0有两个邻接点V1和V2，选择下标最小的V1遍历。接着从V1开始深度遍历，V1只有邻接点V3，也就是没有选的：遍历V3。接着从V3开始遍历，V3只有邻接点V0，而V0已经被遍历过。此时出现了上面提到的情况一，开始回溯V1，V1无未被遍历的邻接点，接着回溯V0，V0有一个未被遍历的邻接点V2，新的一轮深度遍历从V2开始。V2无邻接点，且无法回溯。此时出现了情况二，检测visited[i]，只有V4了。深度遍历完成。看到回溯，应该可以想到需要使用栈。
遍历序列是
V0->V1->V3->V2->V4。
从其它顶点出发的深度优先遍历序列是：
V1->V3->V0->V2->V4。
V2->V0->V1->V3->V4。

V3->V0->V1->V2->V4。

V4->V2->V0->V1->V3。

以上结果，我们稍后用于测试程序。


结合在图的实现：邻接矩阵中的代码，我们看下在邻接矩阵形式下的图的深度遍历算法：

深度优先代码

[cpp] 
view plain
 copy

1. /* 
2. 深度优先搜索 
3. 从vertex开始遍历，visit是遍历顶点的函数指针 
4. */  
5. void Graph::dfs(int vertex, void (*visit)(int))  
6. {  
7.     stack<int> s;  
8.     //visited[i]用于标记顶点i是否被访问过  
9.     bool *visited = new bool[numV];  
10.     //count用于统计已遍历过的顶点数  
11.     int i, count;  
12.     for (i = 0; i < numV; i++)  
13.         visited[i] = false;  
14.     count = 0;  
15.     while (count < numV)  
16.     {  
17.         visit(vertex);  
18.         visited[vertex] = true;  
19.         s.push(vertex);  
20.         count++;  
21.         if (count == numV)  
22.             break;  
23.         while (visited[vertex])  
24.         {  
25.             for (i = 0; i < numV  
26.                 && (visited[i]   
27.                 || matrix[vertex][i] == 0 || matrix[vertex][i] == MAXWEIGHT); i++);  
28.             if (i == numV)  //当前顶点vertex的所有邻接点都已访问完了  
29.             {  
30.                 if (!s.empty())  
31.                 {  
32.                     s.pop();   //此时vertex正是栈顶，应先出栈  
33.                     if (!s.empty())  
34.                     {  
35.                         vertex = s.top();  
36.                         s.pop();  
37.                     }  
38.                     else  //若栈已空，则需从头开始寻找新的、未访问过的顶点  
39.                     {  
40.                         for (vertex = 0; vertex < numV && visited[vertex]; vertex++);  
41.                     }  
42.                 }  
43.                 else  //若栈已空，则需从头开始寻找新的、未访问过的顶点  
44.                 {  
45.                     for (vertex = 0; vertex < numV && visited[vertex]; vertex++);  
46.                 }  
47.             }  
48.             else  //找到新的顶点应更新当前访问的顶点vertex  
49.                 vertex = i;  
50.         }  
51.     }  
52.     delete[]visited;  
53. }  

其它代码前面已经见过，就不给出了，下面看下图的广度遍历。深度遍历和广度遍历的测试，稍后一并给出。

广度优先

    广度优先遍历也叫广度优先搜索(Breadth First Search)。它的遍历规则：

1. 先访问完当前顶点的所有邻接点。(应该看得出广度的意思)
2. 先访问顶点的邻接点先于后访问顶点的邻接点被访问。

    具体点，给定一图G=<V,E>，用visited[i]表示顶点i的访问情况，则初始情况下所有的visited[i]都为false。假设从顶点V0开始遍历，且顶点V0的邻接点下表从小到大有Vi、Vj…Vk。按规则1，接着应遍历Vi、Vj和Vk。再按规则2，接下来应遍历Vi的所有邻接点，之后是Vj的所有邻接点，…，最后是Vk的所有邻接点。接下来就是递归的过程…
在广度遍历的过程中，会出现图不连通的情况，此时也需按上述情况二来进行：测试visited[i]…。
在上述过程中，可以看出需要用到队列。


举个例子，还是同样一幅图：


从V
0
开始遍历
    遍历分析：V0有两个邻接点V1和V2，于是按序遍历V1、V2。V1先于V2被访问，于是V1的邻接点应先于V2的邻接点被访问，那就是接着访问V3。V2无邻接点，只能看V3的邻接点了，而V0已被访问过了。此时需检测visited[i]，只有V4了。广度遍历完毕。

遍历序列是

V0->V1->V2->V3->V4。
从其它顶点出发的广度优先遍历序列是
V1->V3->V0->V
2
->
V
4
。
V2->V0->V1->V3->V4。

V3->V0->V1->V2->V4。

V4->V2->V0->V1->V3。

以上结果，我们同样用于测试程序。



在邻接矩阵下，图的广度遍历算法

广度优先代码

[cpp] 
view plain
 copy

1. /* 
2. 广度优先搜索 
3. 从vertex开始遍历，visit是遍历顶点的函数指针 
4. */  
5. void Graph::bfs(int vertex, void(*visit)(int))  
6. {  
7.     //使用队列  
8.     queue<int> q;  
9.     //visited[i]用于标记顶点i是否被访问过  
10.     bool *visited = new bool[numV];  
11.     //count用于统计已遍历过的顶点数  
12.     int i, count;  
13.     for (i = 0; i < numV; i++)  
14.         visited[i] = false;  
15.     q.push(vertex);  
16.     visit(vertex);  
17.     visited[vertex] = true;  
18.     count = 1;  
19.     while (count < numV)  
20.     {  
21.         if (!q.empty())  
22.         {  
23.             vertex = q.front();  
24.             q.pop();  
25.         }  
26.         else  
27.         {  
28.             for (vertex = 0; vertex < numV && visited[vertex]; vertex++);  
29.             visit(vertex);  
30.             visited[vertex] = true;  
31.             count++;  
32.             if (count == numV)  
33.                 return;  
34.             q.push(vertex);  
35.         }  
36.         //代码走到这里，vertex是已经访问过的顶点  
37.         for (int i = 0; i < numV; i++)  
38.         {  
39.             if (!visited[i] && matrix[vertex][i] > 0 && matrix[vertex][i] < MAXWEIGHT)  
40.             {  
41.                 visit(i);  
42.                 visited[i] = true;  
43.                 count ++;  
44.                 if (count == numV)  
45.                     return;  
46.                 q.push(i);  
47.             }  
48.         }  
49.     }  
50.     delete[]visited;  
51. }  

结合两种遍历的代码，我们对同一幅图进行测试，它的主函数是
[cpp] 
view plain
 copy

1. void visit(int vertex)  
2. {  
3.     cout << setw(4) << vertex;  
4. }  
5. int main()  
6. {  
7.     cout << “******图的遍历：深度优先、广度优先***by David***” << endl;  
8.     bool isDirected, isWeighted;  
9.     int numV;  
10.     cout << “建图” << endl;  
11.     cout << “输入顶点数 “;  
12.     cin >> numV;  
13.     cout << “边是否带权值，0(不带) or 1(带) “;  
14.     cin >> isWeighted;  
15.     cout << “是否是有向图，0(无向) or 1(有向) “;  
16.     cin >> isDirected;  
17.     Graph graph(numV, isWeighted, isDirected);  
18.     cout << “这是一个”;  
19.     isDirected ? cout << “有向、” : cout << “无向、”;  
20.     isWeighted ? cout << “有权图” << endl : cout << “无权图” << endl;  
21.     graph.createGraph();  
22.     cout << “打印邻接矩阵” << endl;  
23.     graph.printAdjacentMatrix();  
24.     cout << endl;  
25.     cout << “深度遍历” << endl;  
26.     for (int i = 0; i < numV; i++)  
27.     {  
28.         graph.dfs(i, visit);  
29.         cout << endl;  
30.     }  
31.     cout << endl;  
32.     cout << “广度遍历” << endl;  
33.     for (int i = 0; i < numV; i++)  
34.     {  
35.         graph.bfs(i, visit);  
36.         cout << endl;  
37.     }  
38.     system(“pause”);  
39.     return 0;  
40. }  

运行

仔细对照测试结果，我们的代码是没有问题的。


完整代码下载：图的遍历：深度优先、广度优先

小结

对于某个图来说，深度优先遍历和广度优先遍历的序列不是唯一的，但当图的存储结构一确定，它的遍历序列就是唯一的。因为当有多个候选点时，我们总是优先选择下标最小的。




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