第一章 随机事件与概率

1.2 概率的定义

一 事件域

事件域的定义：设$\Omega$为一样本空间，$\mathcal{F}$为$\Omega$的某些子集所组成的集合类，如果$\mathcal{F}$满足：

1. $\Omega \in \mathcal{F}$；
2. 若$A \in \mathcal{F}$，则对立事件$\overline A \in \mathcal{F}$；
3. 若$A_n \in \mathcal{F},\quad n=1,2,\cdots$，则可列并$\bigcup\limits_{n=1}^{+\infty} A_n \in \mathcal{F}$。

我们称$\mathcal{F}$为一个事件域，又称为$\sigma$代数。

例1 常见的事件域：

• 若样本空间只含两个样本点：$\Omega=\{\omega_1,\omega_2\}$，记$A=\{\omega_1\}$，$\overline A=\{\omega_2\}$,则事件域为$\mathcal{F}=\{\emptyset,A,\overline A,\Omega\}$；
• 设$\Omega$是一个样本空间，$A\subset\Omega$（可测），则$F_1=\{\emptyset,\Omega\}$，$F_2=\{\emptyset,A,\overline A,\Omega\}$都是事件域；
• 若样本空间含有$n$个样本点：$\Omega=\{\omega_1,\omega_2,\cdots,\omega_n\}$，则其事件域$\mathcal{F}$是由空集$\emptyset$，$n$个单元素，${n\choose 2}$个双元素，${n\choose 3}$个三元素，$\cdots$和$\Omega$组成的集合类。这时$\mathcal{F}$中共有${n\choose 0}+{n\choose 1}+\cdots+{n\choose n}=2^n$个事件;
• 设$\Omega=(a,b)$（区间），则$F=\{(a,b)上的全部可测集\}$也是事件域。

二 概率的公理化定义

设$\Omega$为一个样本空间，$\mathcal{F}$为$\Omega$的某些子集组成的一个事件域。如果对任一事件$A \in \mathcal{F}$，定义在$\mathcal{F}$上的一个实值函数$P(A)$满足：

1. 非负性公理：若$A \in \mathcal{F}$，则$P(A)\ge 0$；
2. 正则性公理：$P(\Omega)=1$；
3. 可列可加性公理：若$A_1,A_2,\cdots,A_n,\cdots$互不相容，有$$P(\bigcup\limits_{i=1}^{+\infty} A_i)=\sum \limits_{i=1}^{+\infty} P(A_i)$$

则称$P(A)$为事件$A$的概率，称三元素$(\Omega,\mathcal{F},\mathcal{P})$为概率空间。