本系列博客整理自网络，其中加入部分个人见解，如果你在看到这个系列的博客的时候有似曾相识的感觉，非常正常，主要是用于本人以后学习与复习，参考的原博客的地址我也会在博客前面或后面给出。

一、B树

        B 树又叫平衡多路查找树。一棵m阶的B 树的特性如下：

（1）树中的每个节点最多拥有m个子节点且m>=2,空树除外（注：m阶代表一个树节点最多有多少个查找路径，m阶=m路,当 m=2则是2叉树,m=3则是3叉）；

（2）除根结点和叶子结点外，其它每个结点至少有[ceil(m / 2)]个孩子（其中ceil(x)是一个取上限的函数）；

（3）所有叶子节点均在同一层、叶子节点除了包含了关键字信息。（结合知乎的那篇和July的博客，我的理解是最后一层的叶 子结点其实是可以不存在的，参见红黑树的那些黑色的叶子结点，即为NULL。知乎的那篇文章更好理解一些，但是还是 那个意思，也就是指向子树的指针全部都是NULL。图我截下来放在下面，如果不理解可以进入知乎那篇文章，文章地址 在前面！）

（4）若根结点不是叶子结点，则至少有2个孩子（特殊情况：没有孩子的根结点，即根结点为叶子结点，整棵树只有一个根节 点）；

（5）每个非终端结点中包含有n个关键字信息： (n，P0，K1，P1，K2，P2，……，Kn，Pn)。其中：

       a)  Ki (i=1…n)为关键字，且关键字按顺序升序排序K(i-1)< Ki。

       b)  Pi为指向子树根的接点，且指针P(i-1)指向子树种所有结点的关键字均小于Ki，但都大于K(i-1)。（其实Pi就是一个指 针，指向子树。）

       c)  关键字的个数n必须满足： [ceil(m / 2)-1]<= n <= m-1。

最后我们用一个图和一个实际的例子来理解B树（这里为了理解方便我就直接用实际字母的大小来排列C>B>A）。

B树的查询流程：（如上图我要从上图中找到E字母，查找流程如下）

（1）获取根节点的关键字进行比较，当前根节点关键字为M，E要小于M（26个字母顺序），所以往找到指向左边的子节点 （二分法规则，左小右大，左边放小于当前节点值的子节点、右边放大于当前节点值的子节点）；

（2）拿到关键字D和G，D<E<G 所以直接找到D和G中间的节点；

（3）拿到E和F，因为E=E 所以直接返回关键字和指针信息（如果树结构里面没有包含所要查找的节点则返回null）；

树的高度

根据上面的例子我们可以看出，对于辅存做IO读的次数取决于B树的高度。而B树的高度由什么决定的呢？

若B树某一非叶子节点包含N个关键字，则此非叶子节点含有N+1个孩子结点，而所有的叶子结点都在第I层，我们可以得出：

（1）因为根至少有两个孩子，因此第2层至少有两个结点。

（2）除根和叶子外，其它结点至少有┌m/2┐个孩子，

（3）因此在第3层至少有2*┌m/2┐个结点，

（4）在第4层至少有2*(┌m/2┐^2)个结点，

（5）在第 I 层至少有2*(┌m/2┐^(l-2) )个结点，于是有： N+1 ≥ 2*┌m/2┐I-2；

（6）考虑第L层的结点个数为N+1，那么2*(┌m/2┐^(l-2)）≤N+1，也就是L层的最少结点数刚好达到N+1个，即： I≤log┌m/2┐((N+1)/2 )+2；

（7）所以，当B树包含N个关键字时，B树的最大高度为l-1（因为计算B树高度时，叶结点所在层不计算在内），即：l – 1 = log┌m/2┐((N+1)/2 )+1。

B树的插入节点流程

定义一个5阶树（平衡5路查找树;），现在我们要把3、8、31、11、23、29、50、28 这些数字构建出一个5阶树出来;遵循规则：

（1）当前是要组成一个5路查找树，那么此时m=5,关键字数必须大于等于cei(5/2)-1小于等于5-1（关键字数小于cei(5/2)-1 就要 进行节点合并，大于5-1就要进行节点拆分）；

（2）满足左大右小的排序规则;

下面这个博客有个生成的动态图，可以帮你更好的理解！

http://www.cnblogs.com/yangecnu/p/Introduce-B-Tree-and-B-Plus-Tree.html

B树节点的删除

规则：

（1）当前是要组成一个5路查找树，那么此时m=5,关键字数必须大于等于cei(5/2)-1小于等于5-1；

（2）满足左大右小的排序规则;

（3）关键字数小于二时先从子节点取，子节点没有符合条件时就向向父节点取，取中间值往父节点放；

B+树

B+-tree：是应文件系统所需而产生的一种B-tree的变形树。

一棵m阶的B+树和m阶的B树的异同点在于：

      1.有n棵子树的结点中含有n个关键字；

       2.所有的叶子结点中包含了全部关键字的信息，及指向含有这些关键字记录的指针，且叶子结点本身依关键字的大小自小而大的顺序链接。 (而B 树的叶子节点并没有包括全部需要查找的信息)

      3.所有的非终端结点可以看成是索引部分，结点中仅含有其子树根结点中最大（或最小）关键字。 (而B 树的非终节点也包含  需要查找的有效信息)

下面这个链接说明了B树和B+树的不同之处，后面有最高票答案的翻译。

https://stackoverflow.com/questions/870218/differences-between-b-trees-and-b-trees

B+ 树的优点在于： 

       由于B+树在内部节点上不好含数据信息，因此在内存页中能够存放更多的key。 数据存放的更加紧密，具有更好的空间局部性。因此访问叶子几点上关联的数据也具有更好的缓存命中率。

       B+树的叶子结点都是相链的，因此对整棵树的便利只需要一次线性遍历叶子结点即可。而且由于数据顺序排列并且相连，所以便于区间查找和搜索。而B树则需要进行每一层的递归遍历。相邻的元素可能在内存中不相邻，所以缓存命中性没有B+树好。

       但是B树也有优点，其优点在于，由于B树的每一个节点都包含key和value，因此经常访问的元素可能离根节点更近，因此访问也更迅速。下面是B 树和B+树的区别图：

B*树

         B*-tree是B+-tree的变体，在B+树的基础上(所有的叶子结点中包含了全部关键字的信息，及指向含有这些关键字记录的指针)，B*树中非根和非叶子结点再增加指向兄弟的指针；B*树定义了非叶子结点关键字个数至少为(2/3)*M，即块的最低使用率为2/3（代替B+树的1/2）。给出了一个简单实例，如下图所示：

B+树的分裂：当一个结点满时，分配一个新的结点，并将原结点中1/2的数据复制到新结点，最后在父结点中增加新结点的指针；B+树的分裂只影响原结点和父结点，而不会影响兄弟结点，所以它不需要指向兄弟的指针。

B*树的分裂：当一个结点满时，如果它的下一个兄弟结点未满，那么将一部分数据移到兄弟结点中，再在原结点插入关键字，最后修改父结点中兄弟结点的关键字（因为兄弟结点的关键字范围改变了）；如果兄弟也满了，则在原结点与兄弟结点之间增加新结点，并各复制1/3的数据到新结点，最后在父结点增加新结点的指针。

所以，B*树分配新结点的概率比B+树要低，空间使用率更高。

参考博客：

http://blog.csdn.net/v_JULY_v/article/details/6530142/

https://zhuanlan.zhihu.com/p/27700617

http://blog.jobbole.com/107800/