B树，又称多路平衡查找树，B树中所有节点的孩子结点数的最大值成为B树的阶，通常用m表示。一棵m阶B树或为空树，或为满足如下特性的m叉树：

1）树中每个结点至多有m棵子树（即至多含有m-1个关键字）。

2）若根结点不是终端结点，则至少有两棵子树。

3）除根结点外的所有非叶结点至少有【m/2】(向上取整)棵子树（即至少含有【m/2】-1个关键字）

4）所有非叶结点的结构如下：

其中，Ki(i=1,2,…,n)为结点的关键字，且满足K1<K2<···<Kn;Pi(i=0,1,···，n)为指向子树根结点的指针，且指针Pi-1所指向子树中所有结点的关键字均小于Ki,Pi所指子树中所有结点的关键字均大于Ki，n( 向下取整【m/2】-1<=n<=m-1 )为结点中关键字的个数。

5）所有的叶节点都出现在同一层次上，并且不带信息（可以看做是外部结点或者类似于折半查找判定树的查找失败结点，实际上这些结点不存在，指向这些结点的指针为空）。

B树是所有结点的平衡因子均等于0的多路查找树,其中底层方形结点表示叶结点，在这些结点中没有存储任何信息。

1.B树的高度（磁盘存取次数）

由下一节可知，B树中的大部分操作所需的磁盘存取次数与B树的高度成正比。

下面来分析B树在不同的情况下的高度。当然，首先应明确B树的高度不包括最后的不带任何信息的叶结点所处的那一层。

如果n>=1，则对任意一棵包含n个关键字，高度为h，阶数为m的B树：

1）因为B树中每个结点最多有m棵子树，m-1个关键字，所以在一棵高度为h的m阶B树中关键字的个数应满足n<=（1+m+m^2+……+m^(h-1)）=m^h-1。因此有

h>=logm  (n+1)（由关键字个数计算B树的最小高度）
2)若让每个结点的关键字个数达到最少，则容纳同样多关键字的B树的高度可达到最大。

由B树定义：

第一层至少有1个结点；

第二层至少有2个结点；

除根结点以外的每个非终端结点至少有【m/2】（向下取整）棵子树，则第三层至少有2*【m/2】（向下取整）个结点

……

第h+1层至少有2*（【m/2】向下取整）^(h-1)个结点，注意到第h+1层是不包含任何信息的叶结点。

对于关键字个数为n的B树，叶结点即查找不成功的结点为n+1，

由此有n+1>2*([m/2]向上取整)^(h-1)，

即h<=log[m/2]（向上取整）（（n+1）/2）+1（由关键字个数计算B树的最大高度）。

假设一棵3阶B树，共有8个关键字，则其高度范围为2<=h<=3.17

2.B树的查找

在B树在进行查找二叉树很相似，只是每个结点都是多个关键字的有序表，在每个结点上所做的不是两路分支决定，而是根据该结点的子树所做的多路分支决定。

B树的查找包含两个基本操作：

①在B树中找结点；

②在结点中找关键字。

由于B树常存储在磁盘上，则前一个查找操作是在磁盘上进行的，而后一个操作是在内存中进行的，即在找到目标结点后，先将结点中的信息读入内存，然后再顺序查找法或折半查找法查找等于k的关键字。

在B树上查找到某个结点后，先在有序表中进行查找，若找到则查找成功，否则按照对应的指针信息到所指的子树中查找。当查找到叶结点时（对应的指针为空指针），则说明树中没有对应的关键字，查找失败。

3.B树的插入

与二叉查找树的插入操作相比，B树的插入操作要复杂得多。在二叉查找树中，仅需查找到需插入的终端结点的位置。但是，在B树中找到插入的位置后，并不能简单地将其加到终端结点中去，因为此时可能导致整棵树不再满足B树中定义的要求。将关键字key插入到B树的过程如下：

1）定位：利用前述的B树查找算法，找出插入该关键字的最底层中某个非叶结点（注意，B树中的插入关键字一定是插入在最底层中的某个非叶子结点内）

2）插入：在B树中，每个非失败结点的关键字个数都在【(m/2)向上取整-1，m-1】之间。当插入后的结点关键字个数小于m，则可以直接插入；插入后检查被插入结点内关键字的个数，当插入后的结点关键字个数大于m-1时，则必须对结点进行分裂。

分裂的方法是：取一个新结点，将插入key后的原结点从中间位置将其中的关键字分为两部分，左部分包含的关键字放在原结点中，右部分包含的关键字放在新的结点中，中间位置（【m/2】向上取整）的结点插入到原结点的父结点中。若此时导致其父结点的关键字个数也超过了上限，则继续进行这种分裂操作，直到这个过程传到根结点为止，这样导致B树高度增1。

4.B树的删除

B树中的删除操作与插入操作类似，但要稍微复杂些，要使删除后的结点的关键字个数>=([m/2]向下取整)-1，因此涉及结点的合并问题。

当所删除的关键字k不在终端结点（最底层非叶结点）中时，有下列几种情况：

1）如果小于k的子树中关键字个数>([m/2]向上取整)-1，则找出k的的前驱值K’，并且用K’来取代k,再递归地删除K’即可。

2）如果大于k的子树中关键字个数>([m/2]向上取整)-1，则找出k的的后继值K’，并且用K’来取代k,再递归地删除K’即可。

3）如果前后两个子树中关键字个数均为([m/2]向上取整)-1，则直接将两个子结点合并，直接删除k即可。

当被删除的关键字在终端结点（最低层非叶结点）中时，有下列几种情况：

1）直接删除关键字：若被删除关键字所在结点的关键字个数>【m/2】(向上取整)-1，表明删除该关键字后仍满足B树的定义，则直接删去该关键字。

2）兄弟够借：若被删除关键字所在结点删除前的关键字个数=【m/2】(向上取整)-1，且与此结点相邻的左（右）兄弟结点的关键字个数>=【m/2】(向上取整)，需要调整该结点左（右）兄弟结点及其双亲结点（父子换位法），以达到新的平衡。

3）兄弟不够借：若被删除关键字所在结点删除前的关键字个数=【m/2】(向上取整)-1，且此时与该结点相邻的左（右）兄弟结点的关键字个数=【m/2】(向上取整)-1，则将关键字删除后，将左（右）兄弟结点及双亲结点中的关键字合并。

在合并的过程中，双亲结点的关键字个数会减少。若其双亲结点是根结点并且关键字个数减少至0（根结点关键字个数为1时，有两棵子树），则直接将根结点删除，合并后的新结点成为根；若双亲结点不是根结点，且关键字个数减少至【m/2】-2，又要与它自己的兄弟结点进行调整或合并操作，并重复上述步骤，直至符合B树的要求为止。