B树的定义
一棵B树T是具有如下性质的有根树(根为root[T])： 1）每个结点x有如下域： a）n[x]，当前存储在结点x中的关键字个数； b）n[x]个关键字本身，以非降序存放，因此key
1 [x]≤key
2[x]≤…≤key
n[x][x]
； c）leaf[x]，是一个布尔值，如果x是叶子结点的话，则它为TRUE，如果x为一个内结点，则它为FALSE。 2）每个内结点x还包含n[x]+1个指向其子女的指针c
1[x]，c
2[x]，…，c
n[x]+1[x]。叶结点没有子女，故它们的c
i域无定义。
3）各关键字Keyi[x]对存储在各子树中的关键字范围加以分隔：如果ki为存储在以ci[x]为根的子树中的关键字，则 k
1≤key
1[x]≤k
2≤key
2[x]≤…≤key
n[x][x]≤k
n[x]+1
4）每个叶结点具有相同的深度，即树的高度h。
5）每一个结点能包含的关键字数有一个上界和下界。这些界可用一个称作B树的最小度数（即一个结点中可指向的孩子结点个数）的固定整数t≥2来表示。
a）每个非根的结点必须至少有t-1个关键字，每个非根的内结点必须至少有t个子女。如果树是非空的，则根结点至少包含一个关键字。
b）每个结点可包含至多2t-1个关键字。所以一个内结点至多可有2t个子女。我们说一个结点是满的，如果它恰好有2t-1个关键字。
对B树的基本操作
搜索B树
搜索B树与搜索二叉树很相似，只是在每个结点所做的不是二叉或者“两路”分支决定，二是根据该结点的子女数所做的多路分支决定。更准确的说，在每个内结点x处，要做n[x]+1路的分支决定。
向B树插入关键字
向B树中插入关键字，同二叉查找树中插入一个关键字类似，要查找插入新关键字的叶子结点位置。因为不能把关键字插入到一个已满的叶子结点中，故需要将一个已满的结点按其中间关键字分裂成两个结点，中间关键字被提升到该结点的父结点中。但是这种满结点的分裂动作会沿着树向上传播。为了解决这个问题，可以采取这样一种策略：当沿着树根往下查找新关键字所属位置时，就沿途分裂遇到的每个满结点。因此，每当要分裂一个满结点时，就能确保它的父结点不是满的。
从B树中删除关键字
B树上的删除操作与插入操作类似，只是稍微复杂点，因为一个关键字能够从任意一个结点中删除，而不只是叶结点。就要我们必须保证一个结点不会因为插入而变得太大一样，必须保证一个结点不会因为删除而变得太小。下面，大致描述一下删除关键字的各种情况：
1）如果关键字k在结点x中而且x是个叶结点，则从x中删除k。
2）如果关键字k在结点x中而且x是个内结点，则作如下操作：
a）如果结点x中前于k的子结点y包含至少t个关键字，则找出k在以y为根的子树中的前驱k‘。递归的删除k’，并在x中用k‘取代k。
b）对称地，如果结点x中位于k之后的子结点z包含至少t个关键字，则找出k在以z为根的子树中的后继k’。递归的删除k‘，并在x中使用k’取代k。
c）否则，如果y和z都只有t-1个关键字，则将k和z中所有关键字合并进y，使得x失去k和指向z的指针，这使y包含2t-1个关键字。然后，释放z并将k从y中递归删除。
3）如果关键字k不在内结点x中，则确定包含k的正确的子树的根ci[x]。如果ci[x]只有t-1个关键字，执行步骤3a或3b以保证我们降至一个包含至少t个关键字的结点。然后，通过对x的某个合适的子结点递归而结束。
a）如果ci[x]只包含t-1个关键字，但它的一个相邻兄弟结点包含至少t个关键字，则将x中的某一个关键字降至ci[x]中，将ci[x]的相邻左兄弟或右兄弟中的某一关键字升至x，将该兄弟中合适的子结点指针移到ci[x]中，这样使得ci[x]增加一个额外的关键字。
b）如果ci[x]以及ci[x]的所有相邻兄弟结点都只包含t-1个关键字，则将ci[x]与任意一个兄弟合并，则将x的一个关键字移至新合并的结点，使之成为新结点的中间关键字。
B树的c++实现代码
#pragma once
template<class T>
class CBTree
{
private:
static const int M = 3; //B树的最小度数
static const int KEY_MAX = 2*M-1; //节点包含关键字的最大个数
static const int KEY_MIN = M-1; //非根节点包含关键字的最小个数
static const int CHILD_MAX = KEY_MAX+1; //孩子节点的最大个数
static const int CHILD_MIN = KEY_MIN+1; //孩子节点的最小个数
struct Node
{
bool isLeaf; //是否是叶子节点
int keyNum; //节点包含的关键字数量
T keyValue[KEY_MAX]; //关键字的值数组
Node *pChild[CHILD_MAX]; //子树指针数组
Node(bool b=true, int n=0)
:isLeaf(b), keyNum(n){}
};
public:
CBTree()
{
m_pRoot = NULL; //创建一棵空的B树
}
~CBTree()
{
clear();
}
bool insert(const T &key) //向B数中插入新结点key
{
if (contain(key)) //检查该关键字是否已经存在
{
return false;
}
else
{
if (m_pRoot==NULL)//检查是否为空树
{
m_pRoot = new Node();
}
if (m_pRoot->keyNum==KEY_MAX) //检查根节点是否已满
{
Node *pNode = new Node(); //创建新的根节点
pNode->isLeaf = false;
pNode->pChild[0] = m_pRoot;
splitChild(pNode, 0, m_pRoot);
m_pRoot = pNode; //更新根节点指针
}
insertNonFull(m_pRoot, key);
return true;
}
}
bool remove(const T &key) //从B中删除结点key
{
if (!search(m_pRoot, key)) //不存在
{
return false;
}
if (m_pRoot->keyNum==1)//特殊情况处理
{
if (m_pRoot->isLeaf)
{
clear();
return true;
}
else
{
Node *pChild1 = m_pRoot->pChild[0];
Node *pChild2 = m_pRoot->pChild[1];
if (pChild1->keyNum==KEY_MIN&&pChild2->keyNum==KEY_MIN)
{
mergeChild(m_pRoot, 0);
deleteNode(m_pRoot);
m_pRoot = pChild1;
}
}
}
recursive_remove(m_pRoot, key);
return true;
}
void display()const //打印树的关键字
{
displayInConcavo(m_pRoot,KEY_MAX*10);
}
bool contain(const T &key)const //检查该key是否存在于B树中
{
return search(m_pRoot, key);
}
void clear() //清空B树
{
recursive_clear(m_pRoot);
m_pRoot = NULL;
}
private:
//删除树
void recursive_clear(Node *pNode)
{
if (pNode!=NULL)
{
if (!pNode->isLeaf)
{
for(int i=0; i<=pNode->keyNum; ++i)
recursive_clear(pNode->pChild[i]);
}
deleteNode(pNode);
}
}
//删除节点
void deleteNode(Node *&pNode)
{
if (pNode!=NULL)
{
delete pNode;
pNode = NULL;
}
}
//查找关键字
bool search(Node *pNode, const T &key)const
{
if (pNode==NULL) //检测节点指针是否为空，或该节点是否为叶子节点
{
return false;
}
else
{
int i;
for (i=0; i<pNode->keyNum && key>*(pNode->keyValue+i); ++i)//找到使key<=pNode->keyValue[i]成立的最小下标i
{
}
if (i<pNode->keyNum && key==pNode->keyValue[i])
{
return true;
}
else
{
if (pNode->isLeaf) //检查该节点是否为叶子节点
{
return false;
}
else
{
return search(pNode->pChild[i], key);
}
}
}
}
//分裂子节点
void splitChild(Node *pParent, int nChildIndex, Node *pChild)
{
//将pChild分裂成pLeftNode和pChild两个节点
Node *pRightNode = new Node();//分裂后的右节点
pRightNode->isLeaf = pChild->isLeaf;
pRightNode->keyNum = KEY_MIN;
int i;
for (i=0; i<KEY_MIN; ++i)//拷贝关键字的值
{
pRightNode->keyValue[i] = pChild->keyValue[i+CHILD_MIN];
}
if (!pChild->isLeaf) //如果不是叶子节点，拷贝孩子节点指针
{
for (i=0; i<CHILD_MIN; ++i)
{
pRightNode->pChild[i] = pChild->pChild[i+CHILD_MIN];
}
}
pChild->keyNum = KEY_MIN; //更新左子树的关键字个数
for (i=pParent->keyNum; i>nChildIndex; --i)//将父节点中的nChildIndex后的所有关键字的值和子树指针向后移一位
{
pParent->pChild[i+1] = pParent->pChild[i];
pParent->keyValue[i] = pParent->keyValue[i-1];
}
++pParent->keyNum; //更新父节点的关键字个数
pParent->pChild[nChildIndex+1] = pRightNode; //存储右子树指针
pParent->keyValue[nChildIndex] = pChild->keyValue[KEY_MIN];//把节点的中间值提到父节点
}
//在非满节点中插入关键字
void insertNonFull(Node *pNode, const T &key)
{
int i = pNode->keyNum; //获取节点内关键字个数
if (pNode->isLeaf) //pNode是叶子节点
{
while (i>0&&key<pNode->keyValue[i-1]) //从后往前，查找关键字的插入位置
{
pNode->keyValue[i] = pNode->keyValue[i-1]; //向后移位
--i;
}
pNode->keyValue[i] = key; //插入关键字的值
++pNode->keyNum; //更新节点关键字的个数
}
else//pNode是内节点
{
while(i>0&&key<pNode->keyValue[i-1]) //从后往前，查找关键字的插入的子树
--i;
Node *pChild = pNode->pChild[i]; //目标子树结点指针
if (pChild->keyNum==KEY_MAX) //子树节点已满
{
splitChild(pNode, i, pChild);//分裂子树节点
if(key>pNode->keyValue[i]) //确定目标子树
pChild = pNode->pChild[i+1];
}
insertNonFull(pChild, key); //插入关键字到目标子树节点
}
}
//用括号打印树
void displayInConcavo(Node *pNode, int count)const
{
if (pNode!=NULL)
{
int i, j;
for (i=0; i<pNode->keyNum; ++i)
{
if (!pNode->isLeaf)
{
displayInConcavo(pNode->pChild[i], count-2);
}
for (j=count; j>=0; --j)
{
cout<<"-";
}
cout<<pNode->keyValue[i]<<endl;
}
if (!pNode->isLeaf)
{
displayInConcavo(pNode->pChild[i], count-2);
}
}
}
//合并两个子节点
void mergeChild(Node *pParent, int index)
{
Node *pChild1 = pParent->pChild[index];
Node *pChild2 = pParent->pChild[index+1];
//将pChild2数据合并到pChild1
pChild1->keyNum = KEY_MAX;
pChild1->keyValue[KEY_MIN] = pParent->keyValue[index];//将父节点index的值下移
int i;
for (i=0; i<KEY_MIN; ++i)
{
pChild1->keyValue[i+KEY_MIN+1] = pChild2->keyValue[i];
}
if (!pChild1->isLeaf)
{
for (i=0; i<CHILD_MIN; ++i)
{
pChild1->pChild[i+CHILD_MIN] = pChild2->pChild[i];
}
}
//父节点删除index的key，index后的往前移一位
--pParent->keyNum;
for(i=index; i<pParent->keyNum; ++i)
{
pParent->keyValue[i] = pParent->keyValue[i+1];
pParent->pChild[i+1] = pParent->pChild[i+2];
}
deleteNode(pChild2); //删除pChild2
}
//递归的删除关键字
void recursive_remove(Node *pNode, const T &key)
{
int i=0;
while(i<pNode->keyNum&&key>pNode->keyValue[i])
++i;
if (i<pNode->keyNum&&key==pNode->keyValue[i])//关键字key在节点pNode中
{
if (pNode->isLeaf)//pNode是个叶节点
{
//从pNode中删除k
--pNode->keyNum;
for (; i<pNode->keyNum; ++i)
{
pNode->keyValue[i] = pNode->keyValue[i+1];
}
return;
}
else//pNode是个内节点
{
Node *pChildPrev = pNode->pChild[i];//节点pNode中前于key的子节点
Node *pChildNext = pNode->pChild[i+1];//节点pNode中后于key的子节点
if (pChildPrev->keyNum>=CHILD_MIN)//节点pChildPrev中至少包含CHILD_MIN个关键字
{
T prevKey = getPredecessor(pChildPrev); //获取key的前驱关键字
recursive_remove(pChildPrev, prevKey);
pNode->keyValue[i] = prevKey; //替换成key的前驱关键字
return;
}
else if (pChildNext->keyNum>=CHILD_MIN)//节点pChildNext中至少包含CHILD_MIN个关键字
{
T nextKey = getSuccessor(pChildNext); //获取key的后继关键字
recursive_remove(pChildNext, nextKey);
pNode->keyValue[i] = nextKey; //替换成key的后继关键字
return;
}
else//节点pChildPrev和pChildNext中都只包含CHILD_MIN-1个关键字
{
mergeChild(pNode, i);
recursive_remove(pChildPrev, key);
}
}
}
else//关键字key不在节点pNode中
{
Node *pChildNode = pNode->pChild[i];//包含key的子树根节点
if (pChildNode->keyNum==KEY_MIN)//只有t-1个关键字
{
Node *pLeft = i>0 ? pNode->pChild[i-1] : NULL; //左兄弟节点
Node *pRight = i<pNode->keyNum ? pNode->pChild[i+1] : NULL;//右兄弟节点
int j;
if (pLeft&&pLeft->keyNum>=CHILD_MIN)//左兄弟节点至少有CHILD_MIN个关键字
{
//父节点中i-1的关键字下移至pChildNode中
for (j=pChildNode->keyNum; j>0; --j)
{
pChildNode->keyValue[j] = pChildNode->keyValue[j-1];
}
pChildNode->keyValue[0] = pNode->keyValue[i-1];
if (!pLeft->isLeaf)
{
for (j=pChildNode->keyNum+1; j>0; --j) //pLeft节点中合适的子女指针移植到pChildNode中
{
pChildNode->pChild[j] = pChildNode->pChild[j-1];
}
pChildNode->pChild[0] = pLeft->pChild[pLeft->keyNum];
}
++pChildNode->keyNum;
pNode->keyValue[i] = pLeft->keyValue[pLeft->keyNum-1];//pLeft节点中的最大关键字上升到pNode中
--pLeft->keyNum;
}
else if (pRight&&pRight->keyNum>=CHILD_MIN)//右兄弟节点至少有CHILD_MIN个关键字
{
//父节点中i的关键字下移至pChildNode中
pChildNode->keyValue[pChildNode->keyNum] = pNode->keyValue[i];
++pChildNode->keyNum;
pNode->keyValue[i] = pRight->keyValue[0];//pRight节点中的最小关键字上升到pNode中
--pRight->keyNum;
for (j=0; j<pRight->keyNum; ++j)
{
pRight->keyValue[j] = pRight->keyValue[j+1];
}
if (!pRight->isLeaf)
{
pChildNode->pChild[pChildNode->keyNum] = pRight->pChild[0];//pRight节点中合适的子女指针移植到pChildNode中
for (j=0; j<=pRight->keyNum; ++j)
{
pRight->pChild[j] = pRight->pChild[j+1];
}
}
}
//左右兄弟节点都只包含CHILD_MIN-1个节点
else if (pLeft)//与左兄弟合并
{
mergeChild(pNode, i-1);
pChildNode = pLeft;
}
else if (pRight)//与右兄弟合并
{
mergeChild(pNode, i);
}
}
recursive_remove(pChildNode, key);
}
}
T getPredecessor(Node *pNode)//找到前驱关键字
{
while (!pNode->isLeaf)
{
pNode = pNode->pChild[pNode->keyNum];
}
return pNode->keyValue[pNode->keyNum-1];
}
T getSuccessor(Node *pNode)//找到后继关键字
{
while (!pNode->isLeaf)
{
pNode = pNode->pChild[0];
}
return pNode->keyValue[0];
}
private:
Node * m_pRoot; //B树的根节点
};
