B-树的插入、查找、删除

原文地址 http://blog.163.com/zhoumhan_0351/blog/static/39954227200910231032917/

                

 前面讨论的查找都是内查询算法,被查询的数据都在内存。当查询的数据放在外存,用平衡二叉树作磁盘文件的索引组织时,若以结点为内外存交换的单位,则找到需要的关键字之前,平均要进行lgn次磁盘读操作,而磁盘、光盘的读写时间要比随机存取的内存代价大得多。其二,外存的存取是以“页”为单位的,一页的大小通常是1024字节或2048字节。

 针对上述特点,1972R.BayerE.M.Cright提出了一种B-树的多路平衡查找树,以适合磁盘等直接存取设备上组织动态查找表B-树上算法的执行时间主要由读、写磁盘的次数来决定,故一次I/O操作应读写尽可能多的信息。因此B-树的结点规模一般以一个磁盘页为单位。一个结点包含的关键字及其孩子个数取决于磁盘页的大小。

一、基本概念

B-树又称为多路平衡查找树。

         一棵度为mB-树称为mB_树。一个结点有k个孩子时,必有k-1个关键字才能将子树中所有关键字划分为k个子集。B-树中所有结点的孩子结点最大值称为B-树的阶,通常用m表示。从查找效率考虑,一般要求m3。一棵m阶的B-树或者是一棵空树,或者是满足下列要求的m叉树:

1)根结点或者为叶子,或者至少有两棵子树,至多有m棵子树。

2)除根结点外,所有非终端结点至少有ceil(m/2)棵子树,至多有m棵子树。

3)所有叶子结点都在树的同一层上。

4)每个结点的结构为:

       nA0K1A1K2A2,…  KnAn

其中,Ki(1in)为关键字,且Ki<Ki+1(1in-1)

        Ai(0in)为指向子树根结点的指针。且Ai所指子树所有结点中的关键字均小于Ki+1An所指子树中所有结点的关键字均大于Kn

n为结点中关键字的个数,满足ceil(m/2)-1nm-1

        比如,一棵3B-树,m=3。它满足: 

1)每个结点的孩子个数小于等于3 

2)除根结点外,其他结点至少有=2个孩子。 

3根结点有两个孩子结点 

4)除根结点外的所有结点的n大于等于=1,小于等于2 

5)所有叶结点都在同一层上。
  
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二、B-树查找的算法思想

1B-树的查找

B-树的查找过程:根据给定值查找结点和在结点的关键字中进行查找交叉进行。首先从根结点开始重复如下过程:

       若比结点的第一个关键字小,则查找在该结点第一个指针指向的结点进行;若等于结点中某个关键字,则查找成功;若在两个关键字之间,则查找在它们之间的指针指向的结点进行;若比该结点所有关键字大,则查找在该结点最后一个指针指向的结点进行;若查找已经到达某个叶结点,则说明给定值对应的数据记录不存在,查找失败。

2.  B-树的插入

插入的过程分两步完成:

   1)利用前述的B-树的查找算法查找关键字的插入位置。若找到,则说明该关键字已经存在,直接返回。否则查找操作必失败于某个最低层的非终端结点上。

   2)判断该结点是否还有空位置。即判断该结点的关键字总数是否满足n<=m-1。若满足,则说明该结点还有空位置,直接把关键字k插入到该结点的合适位置上。若不满足,说明该结点己没有空位置,需要把结点分裂成两个。

分裂的方法是:生成一新结点。把原结点上的关键字和k按升序排序后,从中间位置把关键字(不包括中间位置的关键字)分成两部分。左部分所含关键字放在旧结点中,右部分所含关键字放在新结点中,中间位置的关键字连同新结点的存储位置插入到父结点中。如果父结点的关键字个数也超过(m-1),则要再分裂,再往上插。直至这个过程传到根结点为止。

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3B-树的删除

B-树上删除关键字k的过程分两步完成:

   1)利用前述的B-树的查找算法找出该关键字所在的结点。然后根据 k所在结点是否为叶子结点有不同的处理方法。

   2)若该结点为非叶结点,且被删关键字为该结点中第i个关键字key[i],则可从指针son[i]所指的子树中找出最小关键字Y,代替key[i]的位置,然后在叶结点中删去Y

因此,把在非叶结点删除关键字k的问题就变成了删除叶子结点中的关键字的问题了。

B-树叶结点上删除一个关键字的方法是

首先将要删除的关键字k直接从该叶子结点中删除。然后根据不同情况分别作相应的处理,共有三种可能情况:

1)如果被删关键字所在结点的原关键字个数n>=ceil(m/2),说明删去该关键字后该结点仍满足B-树的定义。这种情况最为简单,只需从该结点中直接删去关键字即可。

2)如果被删关键字所在结点的关键字个数n等于ceil(m/2)-1,说明删去该关键字后该结点将不满足B-树的定义,需要调整。

调整过程为:如果其左右兄弟结点中有“多余”的关键字,即与该结点相邻的右(左)兄弟结点中的关键字数目大于ceil(m/2)-1。则可将右(左)兄弟结点中最小(大)关键字上移至双亲结点。而将双亲结点中小(大)于该上移关键字的关键字下移至被删关键字所在结点中。

3)如果左右兄弟结点中没有“多余”的关键字,即与该结点相邻的右(左)兄弟结点中的关键字数目均等于ceil(m/2)-1。这种情况比较复杂。需把要删除关键字的结点与其左(或右)兄弟结点以及双亲结点中分割二者的关键字合并成一个结点,即在删除关键字后,该结点中剩余的关键字加指针,加上双亲结点中的关键字Ki一起,合并到Ai(是双亲结点指向该删除关键字结点的左(右)兄弟结点的指针)所指的兄弟结点中去。如果因此使双亲结点中关键字个数小于ceil(m/2)-1,则对此双亲结点做同样处理。以致于可能直到对根结点做这样的处理而使整个树减少一层。

总之,设所删关键字为非终端结点中的Ki,则可以指针Ai所指子树中的最小关键字Y代替Ki,然后在相应结点中删除Y。对任意关键字的删除都可以转化为对最下层关键字的删除。

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如图示:

a被删关键字Ki所在结点的关键字数目不小于ceil(m/2),则只需从结点中删除Ki和相应指针Ai,树的其它部分不变。

《B-树的插入、查找、删除》

b、被删关键字Ki所在结点的关键字数目等于ceil(m/2)-1,则需调整。调整过程如上面所述。

《B-树的插入、查找、删除》

c、被删关键字Ki所在结点和其相邻兄弟结点中的的关键字数目均等于ceil(m/2)-1,假设该结点有右兄弟,且其右兄弟结点地址由其双亲结点指针Ai所指。则在删除关键字之后,它所在结点的剩余关键字和指针,加上双亲结点中的关键字Ki一起,合并到Ai所指兄弟结点中(若无右兄弟,则合并到左兄弟结点中)。如果因此使双亲结点中的关键字数目少于ceil(m/2)-1,则依次类推。

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三、B-树的C语言描述

1、存储结构

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2、插入

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3、查找

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四、B-树的C语言实现

#include “stdio.h”

#include “stdlib.h”

#include “math.h”

#define OK 1

#define ERROR -1

#define m 3 //3阶树

#define N 16 //数据元素个数

#define MAX 5 //字符串最大长度+1

typedef int KeyType;

struct Others  //记录的其它部分

{

char info[MAX];

};

struct Record

{

KeyType key; //关键字

Others others; //其它部分

};

typedef struct BTNode

{

int keynum; //结点中关键字个数

BTNode *parent;//指向双亲节点

   struct Node  //结点向量类型

   {

   KeyType key; //关键字向量

   BTNode *ptr;//子树指针向量

   Record *recptr; //记录向量指针

   }node[m+1]; //key,recptr的0号单元未用

}BTNode,*BTree;

struct Result //B树的查找结果类型

{

BTNode *pt; //指向找到的结点

int i; //在节点中关键字序号,1…m

int tag; //1表示查找成功,0表示查找失败。

};

int InitDSTable(BTree &DT)

{

DT=NULL;

return OK;

}//InitDSTable

void DestroyDSTable(BTree &DT)

{

int i;

if(DT) //非空树

    {

     for(i=0;i<=DT->keynum;i++)

         DestroyDSTable(DT->node[i].ptr);

     free(DT);

     DT=NULL;

    }//if

}//DestroyDSTable

int Search(BTree p,KeyType K)

{//在p->node[1…keytype].key中查找i,使得p->node[i].key<=K<

    //p->node[i+1].key

    int i=0,j;

    for(j=1;j<=p->keynum;j++)

        if(p->node[j].key<=K)

            i=j;

    return i;

}//Search

void Insert(BTree &q,int i,Record *r,BTree ap)

{//将r->key、r和ap分别插入到q->key[i+1]、

    //q->recptr[              i+1]和q->ptr[i+1]中

    int j;

    for(j=q->keynum;j>i;j–) //空出q->node[i+1]

     q->node[j+1]=q->node[j];

    q->node[i+1].key=r->key;

    q->node[i+1].ptr=ap; //前加入的结点,还没有儿子结点

    q->node[i+1].recptr=r;

    q->keynum++;

}//Insert

void NewRoot(BTree &T,Record *r,BTree ap)

{// 生成含信息(T,r,ap)的新的根结点*T,原T和ap为子树指针

BTree p;

p=(BTree)malloc(sizeof(BTNode));

p->node[0].ptr=T;

T=p;

if(T->node[0].ptr)

    T->node[0].ptr->parent=T;

T->parent=NULL;

T->keynum=1;

T->node[1].key=r->key;

T->node[1].recptr=r;

T->node[1].ptr=ap;

if(T->node[1].ptr)

    T->node[1].ptr->parent=T;

}//NewRoot

void split(BTree &q,BTree &ap)

{// 将结点q分裂成两个结点,前一半保留,后一半移入新生结点ap

int i,s=(m+1)/2;

ap=(BTree)malloc(sizeof(BTNode));//生成新结点ap

ap->node[0].ptr=q->node[s].ptr;//原来结点中间位置关键字相应指针指向的子树放到

                               //新生成结点的0棵子树中去

for(i=s+1;i<=m;i++) //后一半移入ap

   {

   ap->node[i-s]=q->node[i];

   if(ap->node[i-s].ptr)

       ap->node[i-s].ptr->parent=ap;

   }//for

   ap->keynum=m-s;

   ap->parent=q->parent;

   q->keynum=s-1; // q的前一半保留,修改keynum

}//split

void InsertBTree(BTree &T,Record *r,BTree q,int i)

{//在m阶B树T上结点*q的key[i]与key[i+1]之间插入关键字K的指针r。若引起

   // 结点过大,则沿双亲链进行必要的结点分裂调整,使T仍是m阶B树。

BTree ap=NULL;

int finished=false;

int s;

Record *rx;

rx=r;

while(q&&!finished)

   {

    Insert(q,i,rx,ap);//将r->key、r和ap分别插入到q->key[i+1]、

                      //q->recptr[i+1]和q->ptr[i+1]中

    if(q->keynum<m)

        finished=true;

    else

      {//分裂结点*q

      s=(m+1)/2;

      rx=q->node[s].recptr;

      split(q,ap);//将q->key[s+1..m],q->ptr[s..m]和q->recptr[s+1..m]

                  //移入新结点*ap

      q=q->parent;

      if(q)

          i=Search(q,rx->key);//在双亲结点*q中查找rx->key的插入位置

      }//else

   }//while

if(!finished) //T是空树(参数q初值为NULL)或根结点已分裂为

              //结点*q和*ap

NewRoot(T,rx,ap);    

}//InsertBTree

Result SearchBTree(BTree T,KeyType K)

{// 在m阶B树T上查找关键字K,返回结果(pt,i,tag)。若查找成功,则特征值

// tag=1,指针pt所指结点中第i个关键字等于K;否则特征值tag=0,等于K的

// 关键字应插入在指针Pt所指结点中第i和第i+1个关键字之间。

BTree p=T,q=NULL; //初始化,p指向待查结点,q指向p的双亲

int found=false;

int i=0;

Result r;

while(p&&!found)

   {

   i=Search(p,K);//p->node[i].key≤K<p->node[i+1].key

   if(i>0&&p->node[i].key==K)

       found=true;

   else

     {

     q=p;

     p=p->node[i].ptr;//在子树中继续查找

     }//else

    }//while

   r.i=i;

   if(found)

     {

      r.pt=p;

      r.tag=1;

     }//if

   else

      {

       r.pt=q;

       r.tag=0;

      }//else

    return r;

}//SearchBTree

void print(BTNode c,int i) // TraverseDSTable()调用的函数

 {

   printf(“(%d,%s)”,c.node[i].key,c.node[i].recptr->others.info);

 }//print

void TraverseDSTable(BTree DT,void(*Visit)(BTNode,int))

{// 初始条件: 动态查找表DT存在,Visit是对结点操作的应用函数

// 操作结果: 按关键字的顺序对DT的每个结点调用函数Visit()一次且至多一次

int i;

if(DT) //非空树

    {

      if(DT->node[0].ptr) // 有第0棵子树

         TraverseDSTable(DT->node[0].ptr,Visit);

      for(i=1;i<=DT->keynum;i++)

        {

         Visit(*DT,i);

         if(DT->node[i].ptr) // 有第i棵子树

         TraverseDSTable(DT->node[i].ptr,Visit);

        }//for

    }//if

}//TraverseDSTable

void InputBR(BTree &t,Record r[])

{

Result s;    

for(int i=0;i<N;i++)

   {

     s=SearchBTree(t,r[i].key);

     if(!s.tag)

       InsertBTree(t,&r[i],s.pt,s.i);

   }

}//InputBR

void UserSearch(BTree t)

{

int i;

Result s;

printf(“\n请输入待查找记录的关键字: “);

scanf(“%d”,&i);

s=SearchBTree(t,i);

if(s.tag)

print(*(s.pt),s.i);

else

printf(“没找到”);

printf(“\n”);

}//UserSearch

void DeleteIt(BTree t,BTNode *dnode,int id)

{

if(dnode->keynum>=ceil(m/2))

   {

    dnode->keynum–;

    dnode->node[id].ptr=NULL;

   }//if被删关键字Ki所在结点的关键字数目不小于ceil(m/2),则只需从结点中删除Ki和相应指针Ai,树的其它部分不变。

else if((dnode->keynum==(ceil(m/2)-1))&&((id+1)<(m-1))&&dnode->parent->node[id+1].ptr->keynum>(ceil(m/2)-1))

   {

    for(int i=1;i<m&&dnode->parent->node[i].key < dnode->parent->node[id+1].ptr->node[1].key;i++)

        dnode->node[i].key=dnode->parent->node[i].key;

    dnode->parent->node[1].key=dnode->parent->node[id+1].ptr->node[1].key;

    (dnode->parent->node[id+1].ptr->keynum)–;

   }//else if 被删关键字Ki所在结点的关键字数目等于ceil(m/2)-1,则需调整。本次为与右兄弟调整

else if((dnode->keynum==(ceil(m/2)-1))&&((id-1)>0    )&&dnode->parent->node[id-1].ptr->keynum>(ceil(m/2)-1))

   {

    for(int i=1;i<m&&dnode->parent->node[i].key > dnode->parent->node[id-1].ptr->node[dnode->parent->node[id-1].ptr->keynum].key;i++)

        dnode->node[i].key=dnode->parent->node[i].key;

    dnode->parent->node[1].key=dnode->parent->node[id-1].ptr->node[dnode->parent->node[id-1].ptr->keynum].key;

    (dnode->parent->node[id-1].ptr->keynum)–;

   }//2-else if被删关键字Ki所在结点的关键字数目等于ceil(m/2)-1,则需调整。本次为与左兄弟调整

else if((dnode->keynum==(ceil(m/2)-1))&&((id+1)<(m-1))&&dnode->parent->node[id+1].ptr->keynum==(ceil(m/2)-1))

   {

    do

      {

        BTree tmp;

        tmp=dnode;

       dnode->parent->node[id+1].ptr->node[2]=dnode->parent->node[id+1].ptr->node[1];

       dnode->parent->node[id+1].ptr->node[1]=dnode->parent->node[1];

       dnode->parent->node[id+1].ptr->keynum++;

       dnode->parent->node[id+1].ptr->node[0].ptr=dnode->node[1].ptr;

       dnode->parent->keynum–;

       dnode->parent->node[id].ptr=NULL;

       tmp=dnode;

       if(dnode->parent->keynum>=(ceil(m/2)-1))

           dnode->parent->node[1]=dnode->parent->node[2];

       dnode=dnode->parent;

       free(tmp);

      }while(dnode->keynum<(ceil(m/2)-1));    //双亲中keynum<

   }//3-else if被删关键字Ki所在结点和其相邻兄弟结点中的的关键字数目均等于ceil(m/2)-1,本次假设右兄弟存在

else if((dnode->keynum==(ceil(m/2)-1))&&(id-1)>0      &&dnode->parent->node[id-1].ptr->keynum==(ceil(m/2)-1))

   {

    do

      {

        BTree tmp;

        tmp=dnode;

       dnode->parent->node[id-1].ptr->node[2]=dnode->parent->node[id-1].ptr->node[1];

       dnode->parent->node[id-1].ptr->node[1]=dnode->parent->node[1];

       dnode->parent->node[id-1].ptr->keynum++;

       dnode->parent->node[id-1].ptr->node[0].ptr=dnode->node[1].ptr;

       dnode->parent->keynum–;

       dnode->parent->node[id].ptr=NULL;

       tmp=dnode;

       if(dnode->parent->keynum>=(ceil(m/2)-1))

           dnode->parent->node[1]=dnode->parent->node[2];

       dnode=dnode->parent;

       free(tmp);

      }while(dnode->keynum<(ceil(m/2)-1)); //双亲中keynum<

   }//4-else if被删关键字Ki所在结点和其相邻兄弟结点中的的关键字数目均等于ceil(m/2)-1,本次假设左兄弟存在

    else printf(“Error!”); //出现异常

}//DeleteIt

void UserDelete(BTree t)

{

KeyType date;

Result s;

printf(“Please input the date you want to delete:\n”);

scanf(“%d”,&date);

s=SearchBTree(t,date);

if(!s.tag)  printf(“Search failed,no such date\n”);

else DeleteIt(t,s.pt,s.i);

}//UserDelete

int main()

{

Record r[N]={{24,”1″},{45,”2″},{53,”3″},{12,”4″},{37,”5″},

        {50,”6″},{61,”7″},{90,”8″},{100,”9″},{70,”10″},

        {3,”11″},{30,”12″},{26,”13″},{85,”14″},{3,”15″},

        {7,”16″}};    

BTree t;

InitDSTable(t);

InputBR(t,r);

printf(“按关键字的顺序遍历B_树:\n”);

TraverseDSTable(t,print);

UserSearch(t);

UserDelete(t);

TraverseDSTable(t,print);

DestroyDSTable(t);

return 1;

}

五、复杂度分析

B-树查找包含两种基本动作:

     ●在B-树上查找结点

     ●在结点中找关键字

前一操作在磁盘上进行,后一操作在内存进行。因此查找效率主要由前一操作决定。在磁盘上查找的次数取决于关键字结点在B-树上的层次数。

定理:若n1m3,则对任意一棵具有n个关键字的mB-树,其树高度h至多为logt((n+1)/2)+1t= ceil(m/2)。也就是说根结点到关键字所在结点的路径上涉及的结点数不超过logt((n+1)/2)+1。推理如下:

《B-树的插入、查找、删除》

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    原文作者:B树
    原文地址: https://blog.csdn.net/m0_38015368/article/details/78578590
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