B树的插入、删除操作

     上面第2小节学习简单介绍了利用B树这种结构如何访问外存磁盘中的数据的情况，下面咱们通过另外一个实例来对这棵B树的插入（insert）,删除（delete）基本操作进行详细的介绍。

    但在此之前，咱们还得简单回顾下一棵m阶的B 树 (m叉树)的特性，如下：

1.    树中每个结点含有最多含有m个孩子，即m满足：ceil(m/2)<=m<=m。

2.    除根结点和叶子结点外，其它每个结点至少有[ceil(m / 2)]个孩子（其中ceil(x)是一个取上限的函数）；

3.    若根结点不是叶子结点，则至少有2个孩子（特殊情况：没有孩子的根结点，即根结点为叶子结点，整棵树只有一个根节点）；

4.    所有叶子结点都出现在同一层，叶子结点不包含任何关键字信息(可以看做是外部接点或查询失败的接点，实际上这些结点不存在，指向这些结点的指针都为null)；

5.    每个非终端结点中包含有n个关键字信息： (n，P0，K1，P1，K2，P2，……，Kn，Pn)。其中：

      a)   Ki (i=1…n)

为关键字，且关键字按顺序升序排序K(i-1)< Ki。

 
       b)   Pi为指向子树根的接点，且指针P(i-1)指向子树种所有结点的关键字均小于Ki，但都大于K(i-1)。 

       c)  

除根结点之外的结点的关键字的个数n必须满足： [ceil(m / 2)-1]<= n <= m-1（叶子结点也必须满足此条关于关键字数的性质，根结点除外）。

      那好！下面咱们以一棵5阶（即树中任一结点至多含有4个关键字，5棵子树）B树实例进行讲解(如下图所示)：

备注：

1.    关键字数（2-4个）针对—非根结点（包括叶子结点在内），孩子数（3-5个）—针对根结点和叶子结点之外的内结点。当然，根结点是必须至少有2个孩子的，不然就成直线型搜索树了。

2.    曾在一次面试中被问到，一棵含有N个总关键字数的m阶的B树的最大高度是多少?答曰：log_ceil（m/2）N （上面中关于m阶B树的第1点特性已经提到：树中每个结点含有最多含有m个孩子，即m满足：ceil(m/2)<=m<=m。而树中每个结点含孩子数越少，树的高度则越大，故如此）。在2012微软4月份的笔试中也问到了此问题。更多原理请看上文第3小节末：B树的高度。

下图中关键字为大写字母，顺序为字母升序。

结点定义如下：

typedef struct{ int Count; // 当前节点中关键元素数目 ItemType Key[4]; // 存储关键字元素的数组 long Branch[5]; // 伪指针数组，(记录数目)方便判断合并和分裂的情况 } NodeType;

如图：

插入（insert）操作

    插入一个元素时，首先在B树中是否存在，如果不存在，即在叶子结点处结束，然后在叶子结点中插入该新的元素，注意：如果叶子结点空间足够，这里需要向右移动该叶子结点中大于新插入关键字的元素，如果空间满了以致没有足够的空间去添加新的元素，则将该结点进行“分裂”，将一半数量的关键字元素分裂到新的其相邻右结点中，中间关键字元素上移到父结点中（当然，如果父结点空间满了，也同样需要“分裂”操作），而且当结点中关键元素向右移动了，相关的指针也需要向右移。如果在根结点插入新元素，空间满了，则进行分裂操作，这样原来的根结点中的中间关键字元素向上移动到新的根结点中，因此导致树的高度增加一层。如下图所示：

    1、OK，下面咱们通过一个实例来逐步讲解下。插入以下字符字母到一棵空的B 树中（非根结点关键字数小了（小于2个）就合并，大了（超过4个）就分裂）：C N G A H E K Q M F W L T Z D P R X Y S，首先，结点空间足够，4个字母插入相同的结点中，如下图：

       2、当咱们试着插入H时，结点发现空间不够，以致将其分裂成2个结点，移动中间元素G上移到新的根结点中，在实现过程中，咱们把A和C留在当前结点中，而H和N放置新的其右邻居结点中。如下图：

       3、当咱们插入E,K,Q时，不需要任何分裂操作。 如图：

        4、插入M需要一次分裂，注意M恰好是中间关键字元素，以致向上移到父节点中。如图：

        5、插入F,W,L,T不需要任何分裂操作。如图：

       6、插入Z时，最右的叶子结点空间满了，需要进行分裂操作，中间元素T上移到父节点中，注意通过上移中间元素，树最终还是保持平衡，分裂结果的结点存在2个关键字元素。如图：

       7、插入D时，导致最左边的叶子结点被分裂，D恰好也是中间元素，上移到父节点中，然后字母P,R,X,Y陆续插入不需要任何分裂操作（别忘了，树中至多5个孩子）。如图：


 

       8、最后，当插入S时，含有N,P,Q,R的结点需要分裂，把中间元素Q上移到父节点中，但是情况来了，父节点中空间已经满了，所以也要进行分裂，将父节点中的中间元素M上移到新形成的根结点中，注意以前在父节点中的第三个指针在修改后包括D和G节点中。这样具体插入操作的完成，下面介绍删除操作，删除操作相对于插入操作要考虑的情况多点。如图：

删除(delete)操作

（1）删除操作的两个步骤
   　 第一步骤：在树中查找被删关键字K所在的地点
    　第二步骤：进行删去K的操作

（2）删去K的操作
    　B-树是二叉排序树的推广，中序遍历B-树同样可得到关键字的有序序列（具体遍历算法【参见练习】）。任一关键字K的中序前趋(后继)必是K的左子树(右子树)中最右(左)下的结点中最后(最前)一个关键字。

    　若被删关键字K所在的结点非树叶，则用K的中序前趋(或后继)K’取代K，然后从叶子中删去K’。从叶子*x开始删去某关键字K的三种情形为：

    　情形一：若x->keynum>Min，则只需删去K及其右指针(*x是叶子，K的右指针为空)即可使删除操作结束。

注意： Min=【M/2】-1

    　情形二：若x->keynum=Min，该叶子中的关键字个数已是最小值，删K及其右指针后会破坏B-树的性质(3)。若*x的左(或右)邻兄弟结点*y中的关键字数目大于Min，则将*y中的最大(或最小)关键字上移至双亲结点*parent中，而将*parent中相应的关键字下移至x中。显然这种移动使得双亲中关键字数目不变；*y被移出一个关键字，故其keynum减1，因它原大于Min，故减少1个关键字后keynum仍大于等于Min；而*x中已移入一个关键字，故删K后*x中仍有Min个关键字。涉及移动关键字的三个结点均满足B-树的性质(3)。 请读者验证，上述操作后仍满足B-树的性质(1)。移动完成后，删除过程亦结束。

    　情形三：若*x及其相邻的左右兄弟(也可能只有一个兄弟)中的关键字数目均为最小值Min，则上述的移动操作就不奏效，此时须*x和左或右兄弟合并。不妨设*x有右邻兄弟*y(对左邻兄弟的讨论与此类似)，在*x中删去K后，将双亲结点*parent中介于*x和*y之间的关键字K，作为中间关键字，与并x和*y中的关键字一起“合并“为一个新的结点取代*x和*y。因为*x和*y原各有Min个关键字，从双亲中移人的K’抵消了从*x中删除的K，故新结点中恰有2Min(即2「m/2」-2≤m-1)个关键字，没有破坏B-树的性质(3)。但由于K’从双亲中移到新结点后，相当于从*parent中删去了K’，若parent->keynum原大于Min，则删除操作到此结束；否则，同样要通过移动*parent的左右兄弟中的关键字或将*parent与其 左右兄弟合并的方法来维护B-树性质。最坏情况下，合并操作会向上传播至根，当根中只有一个关键字时，合并操作将会使根结点及其两个孩子合并成一个新的根，从而使整棵树的高度减少一层。如图: 
    　

 
     
  分析：
 　   第1个被删的关键字h是在叶子中，且该叶子的keynum>Min(5阶B-树的Min=2)，故直接删去即可。第2个删去的r不在叶子中，故用中序后继s取代r，即把s复制到r的位置上，然后从叶子中删去s。第3个删去的p所在的叶子中的关键字数目是最小值Min，但其右兄弟的keynum>Min，故可以通过左移，将双亲中的s移到p所在的结点，而将右兄弟中最小(即最左边)的关键字t上移至双亲取代s。当删去d时，d所在的结点及其左右兄弟均无多余的关键字，故需将删去d后的结点与这两个兄弟中的一个(图中是选择左兄弟(ab))及其双亲中分隔这两个被合并结点的关键字c合并在一起形成一个新结点(abce)。但因为双亲中失去c后keynum<Min，故必须对该结点做调整操作，此时它只有一个右兄弟，且右兄弟无多余的关键字，不可能通过移动关键字来解决。因此引起再次合并，因根只有一个关键字，故合并后树高度减少一层，从而得到上图的最后一个图。