B树和B+树   

1. B树的定义:

   1970年，R.Bayer和E.mccreight提出了一种适用于
外查找的树，它是一种平衡的多叉树，称为B树，其定义如下：

   一棵m阶的B树满足下列条件：

   ⑴ 树中每个结点至多有m个孩子；

   ⑵ 除根结点和叶子结点外，其它每个结点至少有m/2个孩子；

   ⑶ 若根结点不是叶子结点，则至少有2个孩子；

   ⑷ 所有叶子结点都出现在同一层，叶子结点不包含任何关键字信息；

   ⑸ 有k个孩子的非终端结点恰好包含有k-1个关键字。

   在B树中，每个结点中关键字从小到大排列，并且当该结点的孩子是非叶子结点时，该k-1个关键字正好是k个孩子包含的关键字的值域的分划。

   因为叶子结点不包含关键字，所以可以把叶子结点看成在树里实际上并不存在外部结点，指向这些外部结点的指针为空，叶子结点的数目正好等于树中所包含的关键字总个数加1。

   B树中的一个包含n个关键字，n+1个指针的结点的一般形式为： （n,P0,K1,P1,K2,P2,…,Kn,Pn）

   其中，Ki为关键字，K1<K2<…<Kn, Pi 是指向包括Ki到Ki+1之间的关键字的子树的指针。

2. B树的查找:

   在B树中查找给定关键字的方法是，首先把根结点取来，在根结点所包含的关键字K1,…,kj查找给定的关键字（可用顺序查找或二分查找法），若找到等于给定值的关键字，则查找成功；否则，一定可以确定要查的关键字在某个Ki或Ki+1之间，于是取Pi所指的结点继续查找，直到找到，或指针Pi为空时查找失败。

   查找算法演示

   性能分析：

  设B树包含N个关键字，因此有N+1个叶子结点，叶子都在第I层。因为根至少有两个孩子，因此第二层至少有两个结点。除根和叶子外，其它结点至少有┌m/2┐个孩子，因此在第三层至少有2*┌m/2┐个结点，在第四层至少有2*┌m/2┐2个结点，．．．，在第I层至少有2*┌m/2┐I-1 个结点，于是有：

   N+1 ≥ 2*┌m/2┐I-1

   即： I ≥ log┌m/2┐( 

   这个公式保证了B树的查找效率是相当高的。 

3. B树的插入:

  当在叶子结点处于第L+1层的B树中插入关键字时，被插入的关键字总是进入第L层的结点。

   若在一个包含j<m-1个关键字的结点中插入一个新的关键字，则把新的关键字直接插入该结点即可；但若把一个新的关键字插入到包含m-1（m为B树的阶）个关键字的结点中，则将引起结点的分裂。在这种情况下，要把这个结点分裂为两个，并把中间的一个关键字拿出来插到该结点的双亲结点中去，双亲结点也可能是满的，就需要再分裂、再往上插，从而可能导致B树可能朝着根的方向生长。

   插入算法演示 

4. B树的删除:

  当从B树中删除一个关键字Ki时，总的分为以下两种情况：

   如果该关键字所在的结点不是最下层的非叶子结点，则先需要把此关键字与它在B树中后继对换位置，即以指针Pi所指子树中的最小关键字Y代替Ki，然后在相应的结点中删除Y。

  如果该关键字所在的结点正好是最下层的非叶子结点，这种情况下，会有以下两种可能：

   ① 若该关键字Ki所在结点中的关键字个数不小于┌m/2┐，则可以直接从该结点中删除该关键字和相应指针即可。  

   ② 若该关键字Ki所在结点中的关键字个数小于┌m/2┐，则直接从结点中删除关键字会导致此结点中所含关键字个数小于┌m/2┐-1 。这种情况下，需考察该结点在B树中的左或右兄弟结点，从兄弟结点中移若干个关键字到该结点中来（这也涉及它们的双亲结点中的一个关键字要作相应变化），使两个结点中所含关键字个数基本相同；但如果其兄弟结点的关键字个数也很少，刚好等于┌m/2┐-1 ，这种移动则不能进行，这种情形下，需要把删除了关键字Ki的结点、它的兄弟结点及它们双亲结点中的一个关键字合并为一个结点。