平衡化
显然的，平衡化后的子树应该是平衡的，以此为原则，很容易得知在各种情况下应该怎么旋转。
private:
void L_Balance(BTNode<T>* &p)
{
if (p->right->bf == 1) R_Rotate(p->right);
L_Rotate(p); current = p;
}
void R_Balance(BTNode<T>* &p)
{
if (p->left->bf == -1) L_Rotate(p->left);
R_Rotate(p); current = p;
}
他们也是对称的。
修改平衡因子
这是整个AVL树能运转的核心，现在的教科书，也正是因为没有真正弄明白如何修改平衡因子，才搞的switch…case满天飞。平衡因子的变化发生在旋转中——正因为这样，旋转才能有平衡化的作用——所以，应该把修改平衡因子的工作放在旋转操作中，而不是放在平衡化中。让我们来看看可能的旋转会带来的平衡因子变化的情况：
左旋（旋转后p暂时没有没有改变） | 右旋（旋转后p暂时没有没有改变） | ||||||
旋转前p | 旋转前t | 旋转后p | 旋转后t | 旋转前p | 旋转前t | 旋转后p | 旋转后t |
－2 | 0 | －1 | 1 | 2 | 0 | 1 | －1 |
－2 | －1 | 0 | 0 | 2 | 1 | 0 | 0 |
－2 | －2 | 1 | 0 | 2 | 2 | －1 | 0 |
－1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | －1 |
－1 | －1 | 1 | 1 | 1 | 1 | －1 | －1 |
－1 | 1 | 0 | 2 | 1 | －1 | 0 | －2 |
旋转的最初发生是因为bf==2或bf==－2，对bf==1或者bf==-1的旋转是为了平衡化的需要——平衡化时的旋转p和t的bf不能异号。表面看起来这张表很凌乱，似乎没什么规律，其实不然。
对于左旋——p的右子树从t变成了t的左子树，显然p的右子树高度至少减1。t的bf代表了原来的t左右子树的高度差，如果t->bf<0，则p的右子树的高度还要减少|t->bf|。t的左子树在原来的左子树上面又多了一个p，显然左子树高度至少加1。在p的平衡因子修改完之后，如果p->bf>0那么t的左子树高度还要增加p->bf。
综合起来就是++(p->bf) -= t->bf < 0?t->bf:0; ++(t->bf) += p->bf > 0?p->bf:0;
对于右旋同理。–(p->bf) -= t->bf > 0?t->bf:0; –(t->bf) += p->bf < 0?p->bf:0;
可以看到这也是对称的。
完整的AVL树实现
#define c_p current->parent
#define c_root (c_p?((c_p->left == current)?c_p->left:c_p->right):root)
#include “BSTree.h”
<?xml:namespace prefix = o ns = “urn:schemas-microsoft-com:office:office” />
template <class T>
class AVLTree : public BSTree<T>
{
public:
bool insert(const T &data)
{
if (!BSTree<T>::insert(data)) return false; const T* p = &data;
while (current)
{
current->bf += (current->data > *p)?1:-1;
if (current->bf == -2) L_Balance(c_root);
else if (current->bf == 2) R_Balance(c_root);
if (!current->bf) break;
p = &(current->data); current = current->parent;
}
return true;
}
bool remove(const T &data)
{
if (!BSTree<T>::remove(data)) return false; const T* p = &r_r_data;
while (current)
{
current->bf -= (current->data > *p)?1:-1;
if (current->bf == -2) L_Balance(c_root);
else if (current->bf == 2) R_Balance(c_root);
if (current->bf) break;
p = &(current->data); current = current->parent;
}
return true;
}
private:
void L_Balance(BTNode<T>* &p)
{
if (p->right->bf == 1) R_Rotate(p->right);
L_Rotate(p); current = p;
}
void R_Balance(BTNode<T>* &p)
{
if (p->left->bf == -1) L_Rotate(p->left);
R_Rotate(p); current = p;
}
void L_Rotate(BTNode<T>* &p)
{
BTNode<T>* t = p->right;
t->parent = p->parent; p->parent = t; p->right = t->left;
if (t->left) t->left->parent = p; t->left = p;
++(p->bf) -= t->bf < 0?t->bf:0; ++(t->bf) += p->bf > 0?p->bf:0;
p = t;
}
void R_Rotate(BTNode<T>* &p)
{
BTNode<T>* t = p->left;
t->parent = p->parent; p->parent = t; p->left = t->right;
if (t->right) t->right->parent = p; t->right = p;
–(p->bf) -= t->bf > 0?t->bf:0; –(t->bf) += p->bf < 0?p->bf:0;
p = t;
}
};
总结与启示
AVL树是个平衡的二叉树，使用对称的旋转来维持平衡，这也注定了对于它的其他操作也应该是对称的。但由于它不是很完美，因此插入和删除对外表现不那么对称（插入时一次平衡化就能平衡，删除时最坏的情况能一直调整到树根O(logN)），但他们内在的本质应该是对称的，正如上面给出的——所有的操作都是对称的。
促使我仔细的研究插入和删除的对称性，是出于我认定AVL树操作是对称的这一信念。这反映了一个人的哲学修养，我不想在此多谈哲学对于一个人的重要性，只是为那些认为马哲、毛概毫无用处的人惋惜。
