平衡二叉树(Self-Balancing Binary Search Tree)，是一种二叉排序树，其中每个结点的左子树和右子树的高度差为-1，0，1之中的某个值。

二叉平衡树又称为AVL树。

平衡因子BF是指二叉树上结点的左子树深度减去右子树深度的值。

只要二叉树上有一个结点的平衡因子的绝对值大于1，则该二叉树就是不平衡的。

平衡二叉树构建的基本思想是在构建二叉排序树的过程中，每当插入一个结点时，先检查是否因插入二破坏了树的平衡性，若是，则找出最小不平衡子树。在保持二叉树特性的前提下，调整最小不平衡子树之间的链接关系，进行相应的旋转，使之称为新的平衡子树。

当最小不平衡子树根结点的BF大于1时，右旋，小于-1时，左旋。插入结点后，最小不平衡子树的BF与它的子树的BF符号相反时，就需要先对结点进行一次旋转以是的符号相同后，再反向旋转一次才能够完成平衡操作。

以下程序在DEV C++中调试运行通过。

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#define LH 1
#define EH 0
#define RH -1

typedef struct BiTNode
{
	int data;
	int bf;
	struct BiTNode *lchild,*rchild;
}BiTNode,*BiTree;

//对以P为根的二叉排序树作右旋处理 
void R_Rotate(BiTree *P)
{
	BiTree L;
	L=(*P)->lchild;//L指向P的左子树根结点 
	(*P)->lchild=L->rchild;//L的右子树挂接为P的左子树 
	L->rchild=(*P);	
	*P=L;//P指向新的根结点 
}

//对以P为根的二叉排序树作左旋处理 
void L_Rotate(BiTree *P)
{
	BiTree R;
	R=(*P)->rchild;//R指向P的右子树根结点 
	(*P)->rchild=R->lchild;//R的左子树挂接为P的右子树 
	R->lchild=(*P);	
	*P=R;//P指向新的根结点 
}

//对以T为根节点的二叉树作左平衡旋转处理
void LeftBalance(BiTree *T)
{
	BiTree L,Lr;
	L=(*T)->lchild;//L指向T的左子树根结点
	switch(L->bf)
	{
		//检查T的左子树平衡度，并作相应平衡处理
		case LH://新结点插入在T的左孩子的左子树上，要作单右旋处理
			(*T)->bf=L->bf=EH;
			R_Rotate(T);
			break;
		case RH://新结点插入在T的左孩子的右子树上，要作双旋处理
			Lr=L->rchild;
			switch(Lr->bf)//修改T及其左孩子的平衡因子
			{
				case LH:
					(*T)->bf=RH;
					L->bf=EH;
					break;
				case EH:
					(*T)->bf=L->bf=EH;
					break;
				case RH:
					(*T)->bf=EH;
					L->bf=LH;
					break;
			 } 
			 Lr->bf=EH;
			 L_Rotate(&(*T)->lchild);
			 R_Rotate(T);
	 } 
 } 

//对以T为根节点的二叉树作右平衡旋转处理
void RightBalance(BiTree *T)
{
	BiTree R,Rl;
	R=(*T)->rchild;
	switch(R->bf)
	{
		//检查T的右子树平衡度，并作相应平衡处理
		case RH://新结点插入在T的左孩子的左子树上，要作单右旋处理
			(*T)->bf=R->bf=EH;
			L_Rotate(T);
			break;
		case LH://新结点插入在T的左孩子的右子树上，要作双旋处理
			Rl=R->lchild;
			switch(Rl->bf)//修改T及其左孩子的平衡因子
			{
				case RH:
					(*T)->bf=LH;
					R->bf=EH;
					break;
				case EH:
					(*T)->bf=R->bf=EH;
					break;
				case LH:
					(*T)->bf=EH;
					R->bf=RH;
					break;
			 } 
			 Rl->bf=EH;
			 R_Rotate(&(*T)->rchild);
			 L_Rotate(T);
	 } 
 } 

//若在平衡的二叉排序树T中不存在和e有相同关键字的结点，则插入一个数据元素为e的新结点并返回1，否则返回0
//若因插入而使二叉排序树失去平衡，则做平衡旋转处理，变量taller反应T长高与否
int InsertAVL(BiTree *T,int e,int *taller)
{
	if(!*T)
	{
		//插入新结点，树长高，置taller为1
		*T=(BiTree)malloc(sizeof(BiTNode));
		(*T)->data=e;
		(*T)->lchild=(*T)->rchild=NULL;
		(*T)->bf=EH;
		*taller=1;
	}
	else
	{
		if(e==(*T)->data)
		{
			//树中已存在和e相同关键字的结点则不再插入
			*taller=0;
			return 0; 
		}
		if(e<(*T)->data)
		{
			//应继续在T的左子树中进行搜索
			if(!InsertAVL(&(*T)->lchild,e,taller))//未插入
				return 0;
			if(*taller)//已插入到T的左子树中且左子树“长高”
			{
				switch((*T)->bf)
				{
					case LH://原本左子树比右子树高，需要作左平衡处理
						LeftBalance(T);
						*taller=0;
						break;
					case EH://原本左右子树等高，现因左子树增高而树增高
						(*T)->bf=LH;
						*taller=1;
						break;
					case RH://原本右子树比左子树高，现左右子树等高
						(*T)->bf=EH;
						*taller=0;
						break; 
					
				}
			 } 
		}
	else	{
			//应继续在T的右子树中进行搜索
			if(!InsertAVL(&(*T)->rchild,e,taller))
				return 0;
			if(*taller)//已插入到T的右子树中且右子树“长高”
			{
				switch((*T)->bf)
				{
					case LH://原本左子树比右子树高，现左右子树等高
						(*T)->bf=EH;
						*taller=0;
						break; 
					case EH://原本左右子树等高，现因右子树增高而树增高
						(*T)->bf=RH;
						*taller=1;
						break;
					case RH://原本右子树比左子树高，需要作右平衡处理
						RightBalance(T);
						*taller=0;
						break;
					
				}
			 } 
		}
	}
	return 1;
 } 




int main()
{
	int i,j;
	int a[10]={3,2,1,4,5,6,7,10,9,8};
	BiTree T=NULL;
	int taller;
	for(i=0;i<10;i++)
	{
		j=InsertAVL(&T,a[i],&taller);
		if(j==1)
			printf("第%d个数插入成功\n",i+1);
	}
}

运行结果如图所示。