图片及部分内容来自博客http://www.cnblogs.com/skywang12345/p/3576969.html
这个博客写的很用心,大家可以看看这个

二叉搜索树

关于二叉搜索树我之前的博客已经实现过了, 因为很多接口都是一样的, 可以先阅读之前的博客http://blog.csdn.net/u014235934/article/details/50924876
简单的说一下什么叫二叉搜索树:

二叉查找树（英语：Binary Search Tree），也称二叉搜索树、有序二叉树（英语：ordered binary tree），排序二叉树（英语：sorted binary tree），是指一棵空树或者具有下列性质的二叉树：
任意节点的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；
任意节点的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；
任意节点的左、右子树也分别为二叉查找树；
没有键值相等的节点。
二叉查找树相比于其他数据结构的优势在于查找、插入的时间复杂度较低。为O(log n)。二叉查找树是基础性数据结构，用于构建更为抽象的数据结构，如集合、multiset、关联数组等。

AVL树

AVL树是待平衡条件的二叉搜索树, 首先AVL是二叉搜索树, 同时还要满足任一节点的左右子树高度差小于2. AVL树的大部分操作和二叉搜索树是一样, 除了插入和删除节点操作外.
所以比起二叉搜索树, AVL树每个节点还多了一个高度的属性:

struct AVLNode;
typedef struct AVLNode * Position;
typedef struct AVLNode * AVLTree;
struct AVLNode{
    int value;
    int height;
    AVLTree left;
    AVLTree right;
};

如上是对节点的定义

上图左边的是AVL树, 满足AVL树的定义, 右边的并不是AVL树, 根节点的左右子树高度相差了2.
但是插入和删除操作很容易破坏AVL树的高度平衡, 会出现一下四中可能:

上面的两张图都是为了便于理解，而列举的关于”失去平衡的AVL树”的例子。总的来说，AVL树失去平衡时的情况一定是LL、LR、RL、RR这4种之一，它们都由各自的定义：

(1) LL：LeftLeft，也称为”左左”。插入或删除一个节点后，根节点的左子树的左子树还有非空子节点，导致”根的左子树的高度”比”根的右子树的高度”大2，导致AVL树失去了平衡。
例如，在上面LL情况中，由于”根节点(8)的左子树(4)的左子树(2)还有非空子节点”，而”根节点(8)的右子树(12)没有子节点”；导致”根节点(8)的左子树(4)高度”比”根节点(8)的右子树(12)”高2。

(2) LR：LeftRight，也称为”左右”。插入或删除一个节点后，根节点的左子树的右子树还有非空子节点，导致”根的左子树的高度”比”根的右子树的高度”大2，导致AVL树失去了平衡。
例如，在上面LR情况中，由于”根节点(8)的左子树(4)的左子树(6)还有非空子节点”，而”根节点(8)的右子树(12)没有子节点”；导致”根节点(8)的左子树(4)高度”比”根节点(8)的右子树(12)”高2。

(3) RL：RightLeft，称为”右左”。插入或删除一个节点后，根节点的右子树的左子树还有非空子节点，导致”根的右子树的高度”比”根的左子树的高度”大2，导致AVL树失去了平衡。
例如，在上面RL情况中，由于”根节点(8)的右子树(12)的左子树(10)还有非空子节点”，而”根节点(8)的左子树(4)没有子节点”；导致”根节点(8)的右子树(12)高度”比”根节点(8)的左子树(4)”高2。

(4) RR：RightRight，称为”右右”。插入或删除一个节点后，根节点的右子树的右子树还有非空子节点，导致”根的右子树的高度”比”根的左子树的高度”大2，导致AVL树失去了平衡。
例如，在上面RR情况中，由于”根节点(8)的右子树(12)的右子树(14)还有非空子节点”，而”根节点(8)的左子树(4)没有子节点”；导致”根节点(8)的右子树(12)高度”比”根节点(8)的左子树(4)”高2。

前面说过，如果在AVL树中进行插入或删除节点后，可能导致AVL树失去平衡。AVL失去平衡之后，可以通过旋转使其恢复平衡，下面分别介绍”LL(左左)，LR(左右)，RR(右右)和RL(右左)”这4种情况对应的旋转方法。

左左旋转

对对LL的失衡状态, 可以通过一次左左单旋转来恢复AVL树的平衡:

图中左边是旋转之前的树，右边是旋转之后的树。从中可以发现，旋转之后的树又变成了AVL树，而且该旋转只需要一次即可完成。
对于LL旋转，你可以这样理解为：LL旋转是围绕”失去平衡的AVL根节点”进行的，也就是节点k2；而且由于是LL情况，即左左情况，就用手抓着”左孩子，即k1”使劲摇。将k1变成根节点，k2变成k1的右子树，”k1的右子树”变成”k2的左子树”。

// 左左单旋转
Position leftLefRotation(Position k2){
    Position k1;
    k1 = k2->left;
    k2->left = k1->right;
    k1->right = k2;

    k2->height = max(Height(k2->left), Height(k2->right)) + 1;
    k1->height = max(Height(k1->left), k2->height) + 1;

    return k1;
}

右右旋转

右右单旋转的操作和左左单旋转是一样的, 改动非常小, 只是把左变成右, 把右变成左即可:

// 右右单旋转
Position rightRightRotation(Position k2){
    Position k1;
    k1 = k2->right;
    k2->right = k1->left;
    k1->left = k2;

    k2->height = max(Height(k2->left), Height(k2->right)) + 1;
    k1->height = max(Height(k1->left), k2->height) + 1;

    return k1;
}

左右旋转

LR失去平衡的情况，需要经过两次旋转才能让AVL树恢复平衡。如下图：

第一次旋转是围绕”k1”进行的”RR旋转”，第二次是围绕”k3”进行的”LL旋转”。

// 左右双旋转
Position leftRightRotation(Position k3){
    k3->left = rightRightRotation(k3->left);

    return leftLefRotation(k3);
}

右左旋转

右左双旋转和左右双旋转又是正好相反:

// 右左双旋转
Position rightLeftRotation(Position k3){
    k3->right = leftLefRotation(k3->right);
    return rightRightRotation(k3);
}

插入操作

AVLTree insert(AVLTree T, int x){
    if(T == NULL){
        T = (AVLTree)malloc(sizeof(struct AVLNode));
        T->value = x;
        T->left = T->right = NULL;
        T->height = 0;
    } else if (x < T->value){
        T->left = insert(T->left, x);
        // 高度相差2表明AVL树已经失去看平衡, 需要调整
        if(Height(T->left) - Height(T->right) == 2){
            if(x < T->left->value)
                // LL的情况
                T = leftLefRotation(T);
            else
                // LR的情况
                T= leftRightRotation(T);
        }
    } else if (x > T->value){
        T->right = insert(T->right, x);
        if(Height(T->right) - Height(T->left) == 2){
            if(x > T->right->value)
                // RR的情况
                T = rightRightRotation(T);
            else
                // RL的情况
                T = rightLeftRotation(T);
        }
    } else {
            // 数据相同不处理
    }

    // 更新树的高度
    T->height = max(Height(T->left), Height(T->right)) + 1;
    return T;
}