二叉查找树(5) - 判断一棵二叉树是否为BST

在本系列的第一篇文章中,已经介绍过了二叉查找树的一些性质:

  • 节点的左子树中任意节点值小于根节点
  • 节点的右子树中任意节点值大于根节点
  • 左右子树都必须是二叉查找树,不允许存在重复节点。

基于上面的这些性质,自然的就得到了这种判断方式:树中的每个节点都有一个特定的值。

假设树的节点定义为:

struct Node
{
        int key;
        Node *left;
        Node *right;
};

方法1 (实现简单,但却是错误的)

对于每个节点,检测它的左孩子节点是否小于它,且右孩子节点是否大于它。

bool isBST(Node* node)
{
  if (node == NULL)
    return true;
     
  //如果左孩子大于根节点,则不是BST
  if (node->left != NULL && node->left->key> node->key)
    return false;
     
  //如果右孩子节点小于根节点,则不是BST
  if (node->right != NULL && node->right->key < node->key)
    return false;
   
  //递归的判断
  if (!isBST(node->left) || !isBST(node->right))
    return false;
     
  //检测完毕,所有条件通过,则是BST
  return true;
}

但是,这种判断方法是错误的,如下面例子所示,节点4处于根节点3的左子树中,但是函数检测到这棵树是BST.
        3
      /   \
    2     5
  /  \
1    4

方法2 (结果正确,但是效率比较低)

对于每个节点,检测左子树中的最大值是否比它小,而右子树的最小值比它大。

//如果是BST,则返回true
bool isBST(Node * node )
{
        if ( node == NULL)
               return true;

        //如果左子树最大值大于根节点,则返回false
        if ( node->left != NULL && maxValue( node->left) > node->key)
               return false;

        //如果右子树最小值小于根节点,则返回false
        if ( node->right != NULL && minValue( node->right) < node->key)
               return false;

        //递归判断
        if (!isBST( node->left) || !isBST( node->right))
               return( false);

        //所有检测都通过,是BST
        return true;
}

其中,maxValue以及minValue函数,分别返回一颗非空树中的最大值和最小值。

方法3 (正确并且有效的)

方法2因为要重复的遍历树中的部分数据,效率比较低。更好的方案是每个节点只遍历一次。 方法3的巧妙之处在于限定了子树中节点值的范围,从而每个节点只需访问一次。节点值的初始范围可限定为INT_MIN以及INT_MAX。
//判断是否为BST
bool isBST(Node* node)
{
    return(isBSTUtil(node, INT_MIN, INT_MAX));
}
//如果是一颗二叉查找树,且值范围在[min,max],则返回true
bool isBSTUtil(Node* node, int min, int max)

代码实现:

#include <iostream>

struct Node
{
        int key;
        Node *left;
        Node *right;
};

bool isBSTUtil(Node * node, int min, int max);

//判断是否为BST
bool isBST(Node * node )
{
        return(isBSTUtil( node, INT_MIN, INT_MAX));
}

//如果是一颗二叉查找树,且值范围在[min, max],则返回true
bool isBSTUtil(Node * node , int min , int max )
{
        //空树也是BST
        if ( node == NULL)
               return true;

        //如果节点值违反了最大/最小约束条件,则不是BST
        if ( node->key < min || node->key > max)
               return false;

        //递归检查子树
        return  isBSTUtil( node->left, min, node->key - 1) &&
              isBSTUtil( node->right, node->key + 1, max);
}


// 创建一个新的BST节点
Node *createNewNode(int item )
{
        Node *temp = new Node;
       temp->key = item;
       temp->left = temp->right = NULL;
        return temp;
}


int main()
{
    /* tree1的定义
            4
          /   \
         2     5
        / \
       1   3 
    */
       Node *root = createNewNode(4);
       root->left = createNewNode(2);
       root->right = createNewNode(5);
       root->left->left = createNewNode(1);
       root->left->right = createNewNode(3);

        if (isBST(root))
              std::cout << "tree1 is BST\n";
        else
              std::cout << "tree1 is not BST\n";

        /* tree2的定义
            4
          /   \
         2     5
        /     /
       1     3
       */
       root = createNewNode(4);
       root->left = createNewNode(2);
       root->left->left = createNewNode(1);
       root->right = createNewNode(5);
       root->right->left = createNewNode(3);

        if (isBST(root))
              std::cout << "tree2 is BST\n";
        else
              std::cout << "tree2 is not BST\n";

        return 0;
}

输出:
tree1 is BST
tree2 is not BST

时间复杂度: O(n)
辅助空间 : 如果不考虑函数调用栈的大小,则为O(1), 否则为O(n)

方法4(使用中序遍历)

1) 对树进行中序遍历,将结果保存在temp数组中。
3) 检测temp数组中元素是否为升序排列。如果是,则这棵树为BST.
时间复杂度: O(n)
方法4还可以进一步的优化,我们可以避免使用这个额外的数组。在中序遍历时,可以保存前驱节点,如果当前节点小于前驱节点,则这棵树不是BST.

//判断是否为BST
bool isBST(Node* root)
{
     static Node *prev = NULL;

     // 中序遍历这棵树,并保存前驱节点至prev中
     if (root)
     {
          if (!isBST(root->left))
               return false;

          // 检测节点值的合法性
          if (prev != NULL && root->key <= prev->key)
               return false;

          prev = root;

          //右子树
          return isBST(root->right);
     }

     return true;
}


更多参考:
http://en.wikipedia.org/wiki/Binary_search_tree
http://cslibrary.stanford.edu/110/BinaryTrees.html

    原文作者:二叉查找树
    原文地址: https://blog.csdn.net/shltsh/article/details/46510569
    本文转自网络文章,转载此文章仅为分享知识,如有侵权,请联系博主进行删除。
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