现在我们来介绍二叉树的一种特殊形式 — 二叉排序树，了解它的区分策略及常用操作。
什么是二叉排序树 Binary Sort Tree, BST
二叉排序树，又称二叉查找树、二叉搜索树、B树。
二叉排序树是具有下列性质的二叉树：
- 若左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；
- 若右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于或等于它的根结点的值；
- 左、右子树也分别为二叉排序树。
也就是说，二叉排序树中，左子树都比节点小，右子树都比节点大，递归定义。
根据二叉排序树这个特点我们可以知道，二叉排序树的中序遍历一定是从小到大的，比如上图，中序遍历结果是：
1 3 4 6 7 8 10 13 14
二叉排序树的关键操作
1.查找
根据二叉排序树的定义，我们可以知道在查找某个元素时：
- 先比较它与根节点，相等就返回；或者根节点为空，说明树为空，也返回；
- 如果它比根节点小，就从根的左子树里进行递归查找；
- 如果它比根节点大，就从根的右子树里进行递归查找。
可以看到，这就是一个 二分查找。
代码实现：
public class BinarySearchTree {
private BinaryTreeNode mRoot; //根节点
public BinarySearchTree(BinaryTreeNode root) {
mRoot = root;
}
/**
* 在整个树中查找某个数据
*
* @param data
* @return
*/
public BinaryTreeNode search(int data) {
return search(mRoot, data);
}
/**
* 在指定二叉排序树中查找数据
*
* @param node
* @param data
* @return
*/
public BinaryTreeNode search(BinaryTreeNode node, int data) {
if (node == null || node.getData() == data) { //节点为空或者相等，直接返回该节点
return node;
}
if (data < node.getData()) { //比节点小，就从左子树里递归查找
return search(node.getLeftChild(), data);
} else { //否则从右子树
return search(node.getRightChild(), data);
}
}
}
可以看到，在二叉排序树中查找是十分简单的，但是这依赖于每次插入、删除元素时对整个 排序树 结构的维护。
2.插入
二叉树中的插入，主要分两步：查找、插入：
- 先查找有没有整个元素，有的话就不用插入了，直接返回；
- 没有就插入到之前查到（对比）好的合适的位置。
插入时除了设置数据，还需要跟父节点绑定，让父节点意识到有你这个孩子：比父节点小的就是左孩子，大的就是右孩子。
代码实现：
/**
* 插入到整个树中
*
* @param data
*/
public void insert(int data) {
if (mRoot == null) { //如果当前是空树，新建一个
mRoot = new BinaryTreeNode();
mRoot.setData(data);
return;
}
searchAndInsert(null, mRoot, data); //根节点的父亲为 null
}
/**
* 两步走：查找、插入
*
* @param parent 要绑定的父节点
* @param node 当前比较节点
* @param data 数据
*/
private BinaryTreeNode searchAndInsert(BinaryTreeNode parent, BinaryTreeNode node, int data) {
if (node == null) { //当前比较节点为 空，说明之前没有这个数据，直接新建、插入
node = new BinaryTreeNode();
node.setData(data);
if (parent != null) { //父节点不为空，绑定关系
if (data < parent.getData()) {
parent.setLeftChild(node);
} else {
parent.setRightChild(node);
}
}
return node;
}
//对比的节点不为空
if (node.getData() == data) { //已经有了，不用插入了
return node;
} else if (data < node.getData()) { //比节点小，从左子树里查找、插入
return searchAndInsert(node, node.getLeftChild(), data);
} else {
return searchAndInsert(node, node.getRightChild(), data);
}
}
3.删除 *
插入操作和查找比较类似，而删除则相对复杂一点，需要根据删除节点的情况分类来对待：
- 如果要删除的节点正好是叶子节点，直接删除就 Ok 了；
- 如果要删除的节点还有子节点，就需要建立父节点和子节点的关系：
- 如果只有左孩子或者右孩子，直接把这个孩子上移放到要删除的位置就好了；
- 如果有两个孩子，就需要选一个合适的孩子节点作为新的根节点，该节点称为 继承节点。
新节点要求要比所有左子树大，比所有右子树小，怎么选择呢？
**要比所有左子树的值大、右子树小，就从右子树里找最小的好了；
同样也可以从左子树里找最大的。**
两种选择方法都可以，本文选用右子树里最小的节点，也就是右子树中最左边的节点。
代码实现：
/**
* 在整个树中 查找指定数据节点的父亲节点
*
* @param data
* @return
*/
public BinaryTreeNode searchParent(int data) {
return searchParent(null, mRoot, data);
}
/**
* 在指定节点下 查找指定数据节点的父亲节点
*
* @param parent 当前比较节点的父节点
* @param node 当前比较的节点
* @param data 查找的数据
* @return
*/
public BinaryTreeNode searchParent(BinaryTreeNode parent, BinaryTreeNode node, int data) {
if (node == null) { //比较的节点为空返回空
return null;
}
if (node.getData() == data) { //找到了目标节点，返回父节点
return parent;
} else if (data < node.getData()) { //数据比当前节点小，左子树中递归查找
return searchParent(node, node.getLeftChild(), data);
} else {
return searchParent(node, node.getRightChild(), data);
}
}
/**
* 删除指定数据的节点
*
* @param data
*/
public void delete(int data) {
if (mRoot == null || mRoot.getData() == data) { //根节点为空或者要删除的就是根节点，直接删掉
mRoot = null;
return;
}
//在删除之前需要找到它的父亲
BinaryTreeNode parent = searchParent(data);
if (parent == null) { //如果父节点为空，说明这个树是空树，没法删
return;
}
//接下来该找要删除的节点了
BinaryTreeNode deleteNode = search(parent, data);
if (deleteNode == null) { //树中找不到要删除的节点
return;
}
//删除节点有 4 种情况
//1.左右子树都为空，说明是叶子节点，直接删除
if (deleteNode.getLeftChild() == null && deleteNode.getRightChild() == null) {
//删除节点
deleteNode = null;
//重置父节点的孩子状态，告诉他你以后没有这个儿子了
if (parent.getLeftChild() != null && parent.getLeftChild().getData() == data) {
parent.setLeftChild(null);
} else {
parent.setRightChild(null);
}
return;
} else if (deleteNode.getLeftChild() != null && deleteNode.getRightChild() == null) {
//2.要删除的节点只有左子树，左子树要继承位置
if (parent.getLeftChild() != null && parent.getLeftChild().getData() == data) {
parent.setLeftChild(deleteNode.getLeftChild());
} else {
parent.setRightChild(deleteNode.getLeftChild());
}
deleteNode = null;
return;
} else if (deleteNode.getRightChild() != null && deleteNode.getRightChild() == null) {
//3.要删除的节点只有右子树，右子树要继承位置
if (parent.getLeftChild() != null && parent.getLeftChild().getData() == data) {
parent.setLeftChild(deleteNode.getRightChild());
} else {
parent.setRightChild(deleteNode.getRightChild());
}
deleteNode = null;
} else {
//4.要删除的节点儿女双全，既有左子树又有右子树，需要选一个合适的节点继承，这里使用右子树中最左节点
BinaryTreeNode copyOfDeleteNode = deleteNode; //要删除节点的副本，指向继承节点的父节点
BinaryTreeNode heresNode = deleteNode.getRightChild(); //要继承位置的节点，初始为要删除节点的右子树的树根
//右子树没有左孩子了，他就是最小的，直接上位
if (heresNode.getLeftChild() == null) {
//上位后，兄弟变成了孩子
heresNode.setLeftChild(deleteNode.getLeftChild());
} else {
//右子树有左孩子，循环找到最左的，即最小的
while (heresNode.getLeftChild() != null) {
copyOfDeleteNode = heresNode; //copyOfDeleteNode 指向继承节点的父节点
heresNode = heresNode.getLeftChild();
}
//找到了继承节点，继承节点的右子树（如果有的话）要上移一位
copyOfDeleteNode.setLeftChild(heresNode.getRightChild());
//继承节点先继承家业，把自己的左右孩子变成要删除节点的孩子
heresNode.setLeftChild(deleteNode.getLeftChild());
heresNode.setRightChild(deleteNode.getRightChild());
}
//最后就是确认位置，让要删除节点的父节点认识新儿子
if (parent.getLeftChild() != null && parent.getLeftChild().getData() == data) {
parent.setLeftChild(heresNode);
} else {
parent.setRightChild(heresNode);
}
}
}
运行代码测试
可以看到，二叉排序树的查找、添加较简单，删除逻辑比较多，我们以下图为例：
测试代码：
@Test
public void delete() throws Exception {
//乱序插入到二叉排序树中
BinarySearchTree binarySearchTree = new BinarySearchTree(null);
binarySearchTree.insert(8);
binarySearchTree.insert(3);
binarySearchTree.insert(1);
binarySearchTree.insert(6);
binarySearchTree.insert(4);
binarySearchTree.insert(7);
binarySearchTree.insert(10);
binarySearchTree.insert(13);
binarySearchTree.insert(14);
//中序遍历
binarySearchTree.iterateMediumOrder(binarySearchTree.getRoot());
System.out.println("");
//查找某个数据
System.out.println(binarySearchTree.search(10).getData());
//删除某个数据对应的元素
binarySearchTree.delete(6);
//中序遍历删除后的二叉排序树
binarySearchTree.iterateMediumOrder(binarySearchTree.getRoot());
}
运行结果：
一道面试题
输入一棵二元查找树，将该二元查找树转换成一个排序的双向链表。要求不能创建任何新的结点，只调整指针的指向。 比如将二元查找树：
10 / \ 6 14 / \ / \ 4 8 12 16转换成双向链表后为：4=6=8=10=12=14=16
解析：
这题据说是微软的面试题，乍看起来貌似很麻烦，又是二叉排序树又是双向链表的，其实考察的都是很基础的东西，明眼人一看就发现只要将这棵树中序遍历后就是将二叉树节点排序（不然它为啥叫二叉排序树呢…），那么我们只要将这棵树中序遍历，遍历到一个节点就将该节点的左指针指向上一个遍历的节点，并将上一个遍历的节点的右指针指向现在正在遍历的节点，那么当我们遍历完整棵树后，我们的双向链表也改好啦！这样既不用添加多余节点，也不用添加多余的指针变量。
总结
二叉排序树的性能取决于二叉树的层数：
- 最好的情况是 O(logn)，存在于完全二叉排序树情况下，其访问性能近似于折半查找；
- 最差时候会是 O(n)，比如插入的元素是有序的，生成的二叉排序树就是一个链表，这种情况下，需要遍历全部元素才行（见下图 b）。
