LintCode — unique-binary-search-trees(不同的二叉查找树)

原题链接：http://www.lintcode.com/zh-cn/problem/minimum-path-sum/

给出 n，问由 1…n 为节点组成的不同的二叉查找树有多少种？

您在真实的面试中是否遇到过这个题？
  Yes



样例

给出n = 3，有5种不同形态的二叉查找树：

1           3    3       2      1
 \         /    /       / \      \
  3      2     1       1   3      2
 /      /       \                  \
2     1          2                  3

分析：

dp[ i ] = Σ(j=0, i)dp[ j ]*dp[ i-1-j ]    ①

相关证明可见（算法导论习题12-4 b）：http://blog.csdn.net/chan15/article/details/48985077

可以推导出 dp[ n ] = 1/(n+1) * C(2n, n)   ②      C(i, j) 表示组合数，从 i 个中选择 j 个的方案数。

****   如果可承载的数(Python)足够大，利用式②，时间复杂度可达 O( n )

         否则(C++、Java)需要用式①，时间复杂度为 O( n^2 )    ****

代码（Python、C++、Java）：

class Solution:
    # @paramn n: An integer
    # @return: An integer
    def numTrees(self, n):
        # write your code here
        res = 1
        for i in list(reversed(range(1, 2*n+1))):
            if i > n+1:
                res *= i
            elif i < n+1:
                res /= i
        return res

class Solution {
public:
    /**
     * @paramn n: An integer
     * @return: An integer
     */
    int numTrees(int n) {
        // write your code here
        vector<int> dp;
        dp.push_back(1);
        dp.push_back(1);
        for (int i = 2; i <= n; i++){
            int a = 0;
            for (int j = 0; j < i; j++)
                a += dp[j]*dp[i-j-1];
            dp.push_back(a);
        }
        return dp[n];
    }
};

public class Solution {
    /**
     * @paramn n: An integer
     * @return: An integer
     */
    public int numTrees(int n) {
        // write your code here
        if (n <= 1) return 1;
        int [] dp = new int [n+1];
        dp[0] = 1;
        dp[1] = 1;
        for (int i = 2; i <= n; i++)
            for (int j = 0; j < i; j++)
                dp[i] += dp[j] * dp[i-1-j];
        return dp[n];
    }
}