折半查找树也叫做二叉排序树。所谓的折半查找树就是左子树的所有节点都比跟节点小，右子树的所有节点都比根节点大（不考虑有重复元素的情况）。
上图就是一颗典型的排序二叉树。它是平衡排序二叉树（AVL）的基础。
可以很容易的看出来，上图的dfs序就是从小到大排好序的。
以下内容来自数据结构与STL。
BinSearchTree类的字段如下：
#ifndef _BIN_SEARCH_TREE_
#define _BIN_SEARCH_TREE_
template<class T>
class BinSearchTree {
struct tree_node {
T item;
tree_node *parent, *left, *right;
bool isHeader;
};
tree_node *header;
unsigned node_count;
};
#endif节点tree_node中包含了一个数据字段（item），三个指针字段，一个头结点字段（采用头结点形式实现）
BinSearchTree中包含一个指向头结点的指针header，跟一个记录节点个数的node_count字段。
构造器：
BinSearchTree(){
header = new tree_node;
header->parent = NULL;//parent指向根节点，在一颗空树中指定根节点是不合理的
header->left = header;
header->right = header;
header->isHeader = true;
node_count = 0;
}在BinSearchTree中添加一个迭代器类Iterator。
#ifndef _BIN_SEARCH_TREE_
#define _BIN_SEARCH_TREE_
template<class T>
class BinSearchTree {
struct tree_node {
T item;
tree_node *parent, *left, *right;
bool isHeader;
};
typedef tree_node *Link;
tree_node *header;
unsigned node_count;
protected:
class Iterator {
protected:
Link link;
public:
Iterator() {}
Iterator(Link new_link) :link(new_link) {}
};
public:
BinSearchTree(){
header = new tree_node;
header->parent = NULL;//parent指向根节点，在一颗空树中指定根节点是不合理的
header->left = header;
header->right = header;
header->isHeader = true;
node_count = 0;
}
};
#endif向BinSearchTree类中添加size方法：
unsigned size() {
return node_count;
}下面分别添加find，insert，erase方法。
Iterator find(const T& item) {
Link parent = header;
Link child = header->parent;
while (child != NULL) {
if (!(child->item < item)) {
parent = child;
child = child->left;
}
else child = child->right;
}
if (parent == header || item < parent->item)return end();
return parent;
}这个方法寻找折半查找树中是否有item项。有则返回它的迭代器，没有返回end()//最大值的下一个。这段代码可以仔细考虑考虑。
这段代码优美的地方在于通过每次查找都要到达树叶节点来减少while循环里头判断语句。
根节点的祖先是头结点，child起初指向根节点，parent指向头结点。然后开始判断。
看下结束条件parent==header这个，什么条件会出现呢？parent更新是出现在item不属于右子树的时候将会被更新，所以parent==header指的是若item比所有的节点都大的时候。
若item属于右子树，新的问题跟原问题是不是很相同，item可能出现在新树的左子树或者右子树上，只是范围缩小了。若item不属于右子树，那么它可能是（1）子树的根节点或者是（2）这颗子树的左子树。简单讨论假设没有相同的项。1条件下那么左子树中没有比他更大了，就是说下面不可能存在item<=child->item的情况了，parent不会被更新，到最后也是item==parent->item这样。2条件的话，跟item属于右子树的情况是一样的。
insert方法有两种情况，一种是树空的情况，一种是树不空的情况。
Iterator Insert(const T& item) {
if (header->parent == NULL) {
insertLeaf(item, header, header->parent);
header->left = header->parent;
header->right = header->parent;
return header->parent;
}
else {
Link parent = header,
child = header->parent;
while (child != NULL) {
parent = child;
if (item < child->item) child = child->left;
else child = child->right;
}
if (item < parent->item) {
insertLeaf(item, parent, parent->left);
if (header->left == parent)return header->left = parent->left;
}
else {
insertLeaf(item, parent, parent->right);
if (header->right == parent)return header->right = parent->right;
}
}
}这段代码还是比较好理解的。insertLeaf函数代码：
void insertLeaf(const T&item, Link& parent, Link& child) {
child = new tree_node;
child->item = item;
child->parent = parent;
child->left = child->right = NULL;
child->isHeader = false;
node_count++;
}这个函数应该是不对外公开的，应该放在private中。
递归版本的代码比较短，但是能迭代尽量迭代吧。
现在考虑最难的erase方法，主要是分类太多，AVL中的erase方法也一样麻烦。
原型：void erase(Iterator itr);
主要的思路就是删除了该节点用直接后继来替代它。
deleteLink（LInk& link);//删除link指向的节点。
prune(Link &link);//当节点只有左子树或者右子树的时候删除该节点。
void erase(const Iterator& itr) {//其实本人也不知道这下面是干嘛用的，求路过的高人指点
if (itr.link->parent->parent == itr.link)//根节点的父亲是头结点，头结点的父亲是根节点。
deleteLink(itr.link->parent->parent);//deleteLink(itr.link);
else if (itr.link->parent->left == itr.link)deleteLink(itr.link->parent->left);
else deleteLink(itr.link->parent->right);
}上面的代码个人感觉是废话。重点讨论下面的deleteLink
void deleteLink(Link& link) {
if (link->left == NULL || link->right == NULL) {
prune(link);
}
else if (link->right->left == NULL) {
link->item = link->right->item;
prune(link->right);
}
else {
Link temp = link->right->left;
while (temp->left != NULL)temp = temp->left;
link->item = temp->item;
prune(temp);
}
}要删除的节点是link指向的，当link没有左子树或者没有右子树时直接调用prune即可。
如果左右子树都存在时，就要找到它的直接后继了，直接后继是右子树的最左下角。
下面是prune函数。记得prune的前置条件是link指向的节点不存在左右子树都存在的情况。
void prune(Link &link) {
Link linkCopy = link,
newLink;
node_count--;
if ((link->left == NULL) && (link->right == NULL)) {
if (link == header->left) header->left = link->parent;
if (link == header->right)header->right = link->parent;
link = NULL;
}
else if (link->left == NULL) {
link = link->right;
link->parent = linkCopy->parent;
if (linkCopy == header->left) {
newLink = link;
while ((newLink->left) != NULL) {
newLink = newLink->left;
}
header->left = newLink;
}
}
else {
link = link->left;
link->parent = linkCopy->parent;
if (linkCopy == header->parent) {
newLink = link;
while ((newLink->right) != NULL) {
newLink = newLink->right;
}
header->right = newLink;
}
}
delete linkCopy;
}prune的主要工作就是调整header的left跟right。
析构函数：
void destroy(Link link) {
if (link != NULL) {
destroy(link->left);
destroy(link->right);
delete(link);
}
}
~BinSearchTree() {
destroy(header->parent);
}采用后序遍历，想想为啥。
完整代码（没有包括迭代器类的实现）
#pragma once
#ifndef _BIN_SEARCH_TREE_
#define _BIN_SEARCH_TREE_
template<class T>
class BinSearchTree {
struct tree_node {
T item;
tree_node *parent, *left, *right;
bool isHeader;
};
typedef tree_node *Link;
tree_node *header;
unsigned node_count;
void insertLeaf(const T&item, Link& parent, Link& child) {
child = new tree_node;
child->item = item;
child->parent = parent;
child->left = child->right = NULL;
child->isHeader = false;
node_count++;
}
public:
class Iterator {
public:
Link link;
public:
Iterator() {}
Iterator(Link new_link) :link(new_link) {}
bool operator==(const Iterator& itr) {
if (link == itr.link)return true;
return false;
}
};
BinSearchTree(){
header = new tree_node;
header->parent = NULL;//parent指向根节点，在一颗空树中指定根节点是不合理的
header->left = header;
header->right = header;
header->isHeader = true;
node_count = 0;
}
unsigned size() {
return node_count;
}
Iterator end() {
return Iterator(header);
}
Iterator find(const T& item) {
Link parent = header;
Link child = header->parent;
while (child != NULL) {
if (!(child->item < item)) {
parent = child;
child = child->left;
}
else child = child->right;
}
if (parent == header || item < parent->item)return end();
return parent;
}
Iterator Insert(const T& item) {
if (header->parent == NULL) {
insertLeaf(item, header, header->parent);
header->left = header->parent;
header->right = header->parent;
return header->parent;
}
else {
Link parent = header,
child = header->parent;
while (child != NULL) {
parent = child;
if (item < child->item) child = child->left;
else child = child->right;
}
if (item < parent->item) {
insertLeaf(item, parent, parent->left);
if (header->left == parent)return header->left = parent->left;
}
else {
insertLeaf(item, parent, parent->right);
if (header->right == parent)return header->right = parent->right;
}
}
}
void prune(Link &link) {
Link linkCopy = link,
newLink;
node_count--;
if ((link->left == NULL) && (link->right == NULL)) {
if (link == header->left) header->left = link->parent;
if (link == header->right)header->right = link->parent;
link = NULL;
}
else if (link->left == NULL) {
link = link->right;
link->parent = linkCopy->parent;
if (linkCopy == header->left) {
newLink = link;
while ((newLink->left) != NULL) {
newLink = newLink->left;
}
header->left = newLink;
}
}
else {
link = link->left;
link->parent = linkCopy->parent;
if (linkCopy == header->parent) {
newLink = link;
while ((newLink->right) != NULL) {
newLink = newLink->right;
}
header->right = newLink;
}
}
delete linkCopy;
}
void deleteLink(Link& link) {
if (link->left == NULL || link->right == NULL) {
prune(link);
}
else if (link->right->left == NULL) {
link->item = link->right->item;
prune(link->right);
}
else {
Link temp = link->right->left;
while (temp->left != NULL)temp = temp->left;
link->item = temp->item;
prune(temp);
}
}
void erase(const Iterator& itr) {//其实本人也不知道这下面是干嘛用的，求路过的高人指点
if (itr.link->parent->parent == itr.link)//根节点的父亲是头结点，头结点的父亲是根节点。
deleteLink(itr.link->parent->parent);//deleteLink(itr.link);
else if (itr.link->parent->left == itr.link)deleteLink(itr.link->parent->left);
else deleteLink(itr.link->parent->right);
}
void destroy(Link link) {
if (link != NULL) {
destroy(link->left);
destroy(link->right);
delete(link);
}
}
~BinSearchTree() {
destroy(header->parent);
}
};
#endif
模板类的定义跟原型不要分开，不然会出现错误的。
