二分查找算法及其变种详解

背景:
春节已过,开工大吉!让我们回顾下一些经典的算法吧 ~

注:kafka的 log存储稀疏索引就是通过二分查号快速定位数据的!

一、思想介绍

二分查找Binary Search)算法,也叫折半查找算法,它的思想非常简单,在生活中随处可见(比如:猜字游戏),但这看似简单的算法,实际却没那么容易掌握透彻。

二分查找针对的是一个有序的数据集合,查找思想有点类似分治思想。每次都通过跟区间的中间元素对比,将待查找的区间缩小为之前的一半,直到找到要查找的元素,或者区间被缩小为 0。

二、时间复杂度

二分查找是一种非常高效的查找算法,高效到什么程度呢?我们来分析一下它的时间复杂度。

我们假设数据大小是 n,每次查找后数据都会缩小为原来的一半,也就是会除以 2。最坏情况下,直到查找区间被缩小为空,才停止。

被查找区间的大小变化:n、n/2、n/4、n/8 ... n/2^k

可以发现,每次比较后查找区间会呈等比数列缩小,且每一次缩小操作只涉及两个数据的大小比较,所以,经过了 k 次区间缩小操作,时间复杂度就是 O(k),最终区间大小为n/2^k=1,我们可以求得 k=log2n,所以时间复杂度就是 O(logn)

这种对数时间复杂度。这是一种极其高效的时间复杂度,有的时候甚至比时间复杂度是常量级 O(1) 的算法还要高效。为什么这么说呢?

因为 logn 是一个非常“恐怖”的数量级,即便 n 非常非常大,对应的 logn 也很小。比如 n 等于 2 的 32 次方,这个数很大了吧?大约是 42 亿。也就是说,如果我们在 42 亿个数据中用二分查找一个数据,最多需要比较 32 次。

我们用大 O 标记法表示时间复杂度的时候,一般会省略掉常数、系数和低阶。对于常量级时间复杂度的算法来说,O(1) 有可能表示的是一个非常大的常量值,比如 O(1000)、O(10000)。所以,常量级时间复杂度的算法有时候可能还没有 O(logn) 的算法执行效率高。

三、最简单二分查找 – 代码实现

为什么说是最简单的二分查找呢?因为我们默认有序数组中不存在重复元素,在其中用二分查找值等于给定值的数据。

非递归实现:

	// 1.经典二分查找,有序数组无重复数据,查找等于给定值的元素
    public static int bSearch1(int[] arr, int value) {
        int low = 0;
        int high = arr.length - 1;
        while (low <= high) {
            int mid = low + ((high - low) >> 1);
            if (arr[mid] == value) {
                return mid;
            } else if (arr[mid] < value) {
                low = mid + 1;
            } else {
                high = mid - 1;
            }
        }
        return -1;
    }

实现逻辑无须多说,我们需要注意的是区间中值如何计算

一般人可能直接这样写:int mid = (low + high) / 2,不能说错误,但存在问题:如果 low 和 high 比较大的话,两者之和就有可能会溢出。改进的方法是将 mid 的计算方式写成 low+(high-low)/2。更进一步,如果要将性能优化到极致的话,我们可以将这里的除以 2 操作转化成位运算 low+((high-low)>>1)。因为相比除法运算来说,计算机处理位运算要快得多。

递归实现:

// 二分查找的递归实现
public static int bSearch1(int[] a, int n, int value) {
  return bSearchInternally(a, 0, n - 1, value);
}
 
private int bSearchInternally(int[] a, int low, int high, int value) {
  if (low > high) return -1;
 
  int mid =  low + ((high - low) >> 1);
  if (a[mid] == value) {
    return mid;
  } else if (a[mid] < value) {
    return bSearchInternally(a, mid+1, high, value);
  } else {
    return bSearchInternally(a, low, mid-1, value);
  }
}

四、二分查找变种 – 代码实现

不知道你有没有听过这样一个说法:“十个二分九个错”。二分查找虽然原理极其简单,但是想要写出没有 Bug 的二分查找并不容易。

唐纳德·克努特(Donald E.Knuth)在《计算机程序设计艺术》的第 3 卷《排序和查找》中说到:“尽管第一个二分查找算法于 1946 年出现,然而第一个完全正确的二分查找算法实现直到 1962 年才出现。” 其实,上面说的就是二分查找的各种变种形式。

下面我们实现四种经典的变种形式:

前提:有序数组存在重复数据

变种一:,查找第一个值等于给定值的元素

	// 变种一:有序数组存在重复数据,查找第一个值等于给定值的元素
	public static int bSearch2(int[] arr, int value) {
        int low = 0;
        int high = arr.length - 1;
        while (low <= high) {
            int mid = low + ((high - low) >> 1);
            if (arr[mid] < value) {
                low = mid + 1;
            } else if (arr[mid] > value) {
                high = mid - 1;
            } else {
                if (mid == 0 || arr[mid - 1] != value) return mid;
                high = mid - 1;
            }
        }
        return -1;
    }

变种二:查找最后一个值等于给定值的元素

	// 变种二:有序数组存在重复数据,查找最后一个值等于给定值的元素
    public static int bSearch3(int[] arr, int value) {
        int low = 0;
        int high = arr.length - 1;
        while (low <= high) {
            int mid = low + ((high - low) >> 1);
            if (arr[mid] < value) {
                low = mid + 1;
            } else if (arr[mid] > value) {
                high = mid - 1;
            } else {
                if (mid == arr.length - 1 || arr[mid + 1] != value) return mid;
                low = mid + 1;
            }
        }
        return -1;
    }

变种三:查找第一个大于等于给定值的元素

	// 变种三:有序数组存在重复数据,查找第一个大于等于给定值的元素
    public static int bSearch4(int[] arr, int value) {
        int low = 0;
        int high = arr.length - 1;
        while (low <= high) {
            int mid = low + ((high - low) >> 1);
            if (arr[mid] >= value) {
                if (mid == 0 || arr[mid - 1] < value) return mid;
                high = mid - 1;
            } else {
                low = mid + 1;
            }
        }
        return -1;
    }

变种四:查找最后一个小于等于给定值的元素

	// 变种四:有序数组存在重复数据,查找最后一个小于等于给定值的元素
    public static int bSearch5(int[] arr, int value) {
        int low = 0;
        int high = arr.length - 1;
        while (low <= high) {
            int mid = low + ((high - low) >> 1);
            if (arr[mid] <= value) {
                if (mid == arr.length - 1 || arr[mid + 1] > value) return mid;
                low = mid + 1;
            } else {
                high = mid - 1;
            }
        }
        return -1;
    }

五、二分查找的局限性

前面我们分析过,二分查找的时间复杂度是 O(logn),查找数据的效率非常高。不过,并不是什么情况下都可以用二分查找,它的应用场景是有很大局限性的。那什么情况下适合用二分查找,什么情况下不适合呢?

首先,二分查找依赖的是顺序表结构,简单点说就是数组。

那二分查找能否依赖其他数据结构呢?比如链表。答案是不可以的,主要原因是二分查找算法需要按照下标随机访问元素。我们在数组和链表那两节讲过,数组按照下标随机访问数据的时间复杂度是 O(1),而链表随机访问的时间复杂度是 O(n)。所以,如果数据使用链表存储,二分查找的时间复杂就会变得很高。

二分查找只能用在数据是通过顺序表来存储的数据结构上。如果你的数据是通过其他数据结构存储的,则无法应用二分查找。

其次,二分查找针对的是有序数据。

二分查找对这一点的要求比较苛刻,数据必须是有序的。如果数据没有序,我们需要先排序。前面章节里我们讲到,排序的时间复杂度最低是 O(nlogn)。所以,如果我们针对的是一组静态的数据,没有频繁地插入、删除,我们可以进行一次排序,多次二分查找。这样排序的成本可被均摊,二分查找的边际成本就会比较低

但是,如果我们的数据集合有频繁的插入和删除操作,要想用二分查找,要么每次插入、删除操作之后保证数据仍然有序,要么在每次二分查找之前都先进行排序。针对这种动态数据集合,无论哪种方法,维护有序的成本都是很高的。

所以,二分查找只能用在插入、删除操作不频繁,一次排序多次查找的场景中。针对动态变化的数据集合,二分查找将不再适用。那针对动态数据集合,如何在其中快速查找某个数据呢?别急,等到二叉树那一节我会详细讲。

再次,数据量太小不适合二分查找。

如果要处理的数据量很小,完全没有必要用二分查找,顺序遍历就足够了。比如我们在一个大小为 10 的数组中查找一个元素,不管用二分查找还是顺序遍历,查找速度都差不多。只有数据量比较大的时候,二分查找的优势才会比较明显。

不过,这里有一个例外。如果数据之间的比较操作非常耗时,不管数据量大小,我都推荐使用二分查找。比如,数组中存储的都是长度超过 300 的字符串,如此长的两个字符串之间比对大小,就会非常耗时。我们需要尽可能地减少比较次数,而比较次数的减少会大大提高性能,这个时候二分查找就比顺序遍历更有优势。

最后,数据量太大也不适合二分查找。

二分查找的底层需要依赖数组这种数据结构,而数组为了支持随机访问的特性,要求内存空间连续,对内存的要求比较苛刻。比如,我们有 1GB 大小的数据,如果希望用数组来存储,那就需要 1GB 的连续内存空间。

注意这里的“连续”二字,也就是说,即便有 2GB 的内存空间剩余,但是如果这剩余的 2GB 内存空间都是零散的,没有连续的 1GB 大小的内存空间,那照样无法申请一个 1GB 大小的数组。而我们的二分查找是作用在数组这种数据结构之上的,所以太大的数据用数组存储就比较吃力了,也就不能用二分查找了。

本文参考:《数据结构与算法之美》

    原文作者:查找算法
    原文地址: https://blog.csdn.net/Abysscarry/article/details/87388195
    本文转自网络文章,转载此文章仅为分享知识,如有侵权,请联系博主进行删除。
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