这篇文章讨论一些常用的树结构和它们的一点相关性质和算法。

    1. 哈弗曼树     哈弗曼树的主要目的是压缩。比如对一系列频率不同的字符，分别给它们不同长度而没有歧义的编码，使得期望的总编码长度降到最低。哈弗曼树比较好理解，不多说，具体过程大概是先选择频率最低的两个字符，分别作为树的最底层两个节点，然后给它们一个父节点，父节点的频率记为它们的合，考察当前剩余的节点和当前没有父节点的树中节点，找出两个最低的，再重复上面的过程合并。直到每个字符都被放进树中，此时节点构成一颗二叉树，除根节点外每层两个节点。每个节点的层数就是该节点应当给的编码长度。

    2. 二叉查找树     二叉查找树（Binary Search Tree）也叫二叉排序树（Sorted Binary Tree），主要性质是对于二叉树的每一个节点，如果它有左子树，那么左子树的每个节点的值均小于该节点。如果它有右子树，那么右子树的每个节点的值大于该节点。不允许存在两个节点的值相等。这样的树的结构非常常用，主要目的是二分查找方便。一颗好的二叉查找树的一次查找复杂度为O（lgn）

    3. 平衡二叉树     平衡二叉树是对二叉查找树的优化。二叉查找树的问题在于，假如树的左边和右边高度差很多，比较倾斜，那么导致树的高度被加大了，那么查找的复杂度事实上是会大于lgn的，最坏可以达到n。因此平衡二叉树就要尽量保持平衡，他要求每个节点的左子树和右子树的高度差不得超过1，一旦发现某个节点出现了失衡的情况，就需要进行旋转恢复平衡。     旋转分为左左、右右、左右、右左四种情况。左左顺时针转，右右逆时针转，左右先把下边逆时针，再把上边顺时针，右左先把下边顺时针，再把上边逆时针。关键要定位到哪个节点出现了失衡的情况，旋转时需要包括它的父节点。旋转之后这个失衡点取代了原先父节点的位置，而它的父节点变成了它的子节点。

    4. B树     首先纠正一个常见的误认问题：很多人以为B树、B-树、B+树是三种树，其实这个完全是翻译造成的误解。B-Tree就是B树，但很多人中文著作翻译为B-树，再加上还正好有一个B树的改进版本B+树，更让人误解了，其实B树和B-树是一个东西B-Tree。     B树（Balanced-Tree）主要解决的是减少IO的问题。由于磁盘的速度很慢，而内存往往不够用，当树很大的时候，我们需要把树的很大一部分留在磁盘上需要时读取。平衡二叉树的查询复杂度已经是lgn，如果想要更低的话，一种想法就是把树变成多路的，这样就减少了IO的次数。B树的思想和它的改良版本被广泛在数据库系统中运用。     B树相对平衡二叉树的改良在于，给每个中间节点多于1个的key，从而实现多路。     B树是多路的，一颗B树有一个度m。度为m的B树的每一个节点的子树最多有m颗。中间节点至少要有m/2个子树（如果m是奇数那么向上取整）。每个节点存在多个值，这些值用于查询时的比较，如果这个节点有x个值，那么它有x+1个子树（x个值线性排列，那么包括左右两端一共有x+1个空挡）。B树要求所有叶子节点在同一层，是严格平衡的。经过这样的改良，B树得到了比平衡二叉树更好的效率。

typedef struct node
{
 int keyNum;
 struct node* parent;
 struct node* child; // 指向子节点线性表，keyNum+1个
 type* key; // 指向key线性表，keyNum个
} node;

    5. B+树     B+树在数据库和文件系统中被广泛使用。B+树是对B树的改良，基本相同，所以讲的都是不同点。B树中的中间节点存放的值既是值，又是比较用的key。而B+树的中间节点的key就只是key而已。也就是说，B树的查询可能到某个中间节点就完成了，而B+树必须查到叶子才行，因为只有叶子的值才有实际意义，中间节点的key只是用于加快查询的而已。     B+树的每个节点如果有x个key的话，那么它有x个子树。第i个子树的全部key落在(x[i-1], x[i]]前开后闭这个区间内
（update：这一点在不同的资料上存在着不一样的描述，维基百科英文版上描述的是x-1个key对于x个子树，一些国内的博客则是两种说法都有，维基百科中文版并没有说明这个问题。如果读者有确定答案请在下面评论告诉我，谢谢）。B+树的叶子上保存了完整的数据信息，同时还有一个指针顺序指向下一个叶子节点。     B+树由于中间节点仅存储了key而没有实际的数据，因此整个树较小，可以把更多的树的部分放到内存中，进一步地减少了IO的量。