题目：

相同关键字的存在，给二叉查找树的实现带来了一些问题。

a）当用TREE-INSERT将n个具有相同关键字的数据项插入到一棵初始为空的二叉查找树中时，该算法的渐近性能如何？

我们可以对TREE-INSERT做一些改进，即在第5行的前面测试key[z] = key[x]，在第11行的前面测试key[z] = key[y]。如果等式成立，我们对下列策略中的某一种加以实现。对每一种策略，请给出将n个具有相同关键字的数据插入一棵初始为空的二叉查找树中的渐近性能（以下的策略是针对第5行的，比较的是z和x的关键字。将x换成y即可用于第11行）。

b）在结点x处设一个布尔标志b[x]，并根据b[x]的不同值，置x为left[x]或right[x]。每当插入一个与x具有相同关键字的结点时，b[x]取TRUE或FALSE。

c）在结点x处设置一个列表，其中所有结点都具有与x相同的关键字，并将z插入到该列表中。

d）随机地将置为left[x]或right[x]

思考：

b）每次测试到等式成立时，若b[x]为FLASE，插入到左子树中，b[x]为TRUE时，插入到右子树中，然后将b[x]取反

c）使用一个链表，所有具有相同关键字的结点组成一个链表，结点中的一个指针指向这个链表

d）使用rand()%2随机地决定插入到左子树中还是右子树中

代码

b）

//二叉查找树结点的结构
struct node
{
	int key;//关键字
	int data;//卫星数据
	bool b;
	node *left;//左孩子
	node *right;//右孩子
	node *p;//父结点
	node(int x):key(x),data(x),b(0),left(NULL),right(NULL),p(NULL){}
};
//二叉查找树的结构
struct tree
{
	node *root;
	tree():root(NULL){}
};
//二叉查找树的插入
void Tree_Insert(tree *T, node *z)
{
	//找到要插入的位置
	node *x = T->root, *y = NULL;
	//若x为空,x是要插入的位置，x的父是z->p
	while(x != NULL)
	{
		y = x;
		//等式成立时，由b决定插入到哪个子树
		if(z->key == x->key)
		{
			if(x->b == 0)
				x = x->left;
			else
				x = x->right;
			//对b取反
			x->b = !x->b;
		}
		else if(z->key < x->key)
			x = x->left;
		else
			x = x->right;
	}
	//修改指针，注意树为空的情况
	z->p = y;
	if(y == NULL)
		T->root = z;
	else if(z->key == y->key)
	{
		if(y->b == 0)
			y->left = z;
		else y->right = z;
		y->b = !y->b;
	}
	else if(z->key < y->key)
		y->left = z;
	else y->right = z;
}

c）

//二叉查找树结点的结构
struct node
{
	int key;//关键字
	int data;//卫星数据
	node *next;//指向具体相同关键字的链表
	node *left;//左孩子
	node *right;//右孩子
	node *p;//父结点
	node(int x):key(x),data(x),left(NULL),right(NULL),p(NULL),next(NULL){}
};
//二叉查找树的结构
struct tree
{
	node *root;
	tree():root(NULL){}
};
//二叉查找树的插入
void Tree_Insert(tree *T, node *z)
{
	//找到要插入的位置
	node *x = T->root, *y = NULL;
	//若x为空,x是要插入的位置，x的父是z->p
	while(x != NULL)
	{
		y = x;
		//等式成立时，不继续插入到子树中，而是链入链表中
		if(z->key == x->key)
		{
			z->next = x->next;
			x->next = z;
			return;
		}
		else if(z->key < x->key)
			x = x->left;
		else
			x = x->right;
	}
	//修改指针，注意树为空的情况
	z->p = y;
	if(y == NULL)
		T->root = z;
	//等式成立时，不是插入到子树中，而是链入链表中
	else if(z->key == y->key)
	{
		z->next = y->next;
		y->next = z;
	}
	else if(z->key < y->key)
		y->left = z;
	else y->right = z;
}

d）

//二叉查找树结点的结构
struct node
{
	int key;//关键字
	int data;//卫星数据
	node *left;//左孩子
	node *right;//右孩子
	node *p;//父结点
	node(int x):key(x),data(x),left(NULL),right(NULL),p(NULL){}
};
//二叉查找树的结构
struct tree
{
	node *root;
	tree():root(NULL){}
};
//二叉查找树的插入
void Tree_Insert(tree *T, node *z)
{
	//找到要插入的位置
	node *x = T->root, *y = NULL;
	//若x为空,x是要插入的位置，x的父是z->p
	while(x != NULL)
	{
		y = x;
		//若等式成立，随机地决定插入到哪个子树中
		if(z->key == x->key)
		{
			if(rand()%2 == 0)
				x = x->left;
			else
				x = x->right;
		}
		else if(z->key < x->key)
			x = x->left;
		else
			x = x->right;
	}
	//修改指针，注意树为空的情况
	z->p = y;
	if(y == NULL)
		T->root = z;
	else if(z->key == y->key)
	{
		if(rand()%2 == 0)
			x = x->left;
		else
			x = x->right;
	}
	else if(z->key < y->key)
		y->left = z;
	else y->right = z;
}