直接插入排序

1 基本原理

1 核心思想：插入排序通过构建有序序列，对于未排序数据，在已排序序列中从后向前扫描，找到相应位置并插入 ，如此重复，直至完成序列排序。
2 算法分析：
1. 从序列第一个元素开始，该元素可以认为已经被排序
2. 取出下一个元素，设为待插入元素，在已经排序的元素序列中从后向前扫描，如果该元素（已排序）大于待插入元素，将该元素移到下一位置。
3. 重复步骤2，直到找到已排序的元素小于或者等于待排序元素的位置，插入元素
4. 重复2，3步骤，完成排序。

2 实例说明

如上图所示，以一组数据{12，15，9，20，6，31，24} 为例，进行直接插入排序的算法演示：

1. 默认序列第一个元素12 以及被排序。
2. 取下一元素 15 从后往前与已排序序列一次比较，15插入12 之后，已排序序列为[12，15]。
3. 取下一元素9，重复2步骤，将9插12 之前，已排序序列为[9，12，15]。
4. 循环上述操作，直至最后一个元素24，插入合适位置，完成排序。

3 代码实现

// 直接插入排序(C++)
void InsertSort(vector<int> &vi)
{
    for(int i=1;i<vi.size();i++) 
    {
        int temp=vi[i];
        int j;
        for(j=i-1;j>=0&&temp<vi[j];j--)
        {
            vi[j+1]=vi[j]；     //将较大元素后移
        }

        vi[j+1]=temp;        //temp插入正确的位置

    }
}

算法改进：二分插入排序
二分查找插入排序的原理：是直接插入排序的一个变种，区别是：在有序区中查找新元素插入位置时，为了减少元素比较次数提高效率，采用二分查找算法进行插入位置的确定。

算法分析：
设数组为a[0…n]。
1. 将原序列分成有序区和无序区。a[0…i-1]为有序区，a[i…n] 为无序区。（i从1开始）
2. 从无序区中取出第一个元素，即a[i]，使用二分查找算法在有序区中查找要插入的位置索引j。
3. 将a[j]到a[i-1]的元素后移，并将a[i]赋值给a[j]。
4. 重复步骤2~3，直到无序区元素为0。

// 二分插入排序
void BinInsertSort(vector<int> &vi)
{
    for(int i=1;i<vi.size();i++)
    {
        int left=0;
        int right=i-1;
        int temp=vi[i]
        while(left<=right)
        {
            int mid=(left+right)/2; //二分区域
            if(vi[mid]>temp)
            {
                right=mid-1;       //向左缩小区域
            }
            else
            {
                left=mid+1;        //向右缩小区域
            }
        }

        for(int j=i-1;j>left;j--)  //vi[left,i-1]的元素整体后移
        {
            vi[j+1]=vi[j];
        }
        vi[left]=temp;
    }
}

4 性能分析

• 1 时间复杂度：
  （1）顺序排列时，只需比较(n-1)次，插入排序时间复杂度为O(n)；
  （2）逆序排序时，需比较n(n-1)/2次，插入排序时间复杂度为O(n^2)；
  （3）当原始序列杂乱无序时，平均时间复杂度为O(n^2)。
• 2 空间复杂度：
  插入排序过程中，需要一个临时变量temp存储待排序元素，因此空间复杂度为O(1)。
• 3 算法稳定性：
  插入排序是一种稳定的排序算法。