拓扑排序定义
对一个有向无环图(Directed Acyclic Graph简称DAG)G进行拓扑排序,是将G中所有顶点排成一个线性序列,使得图中任意一对顶点u和v,若边(u,v)∈E(G),则u在线性序列中出现在v之前。通常,这样的线性序列称为满足拓扑次序(Topological Order)的序列,简称拓扑序列。简单的说,由某个集合上的一个偏序得到该集合上的一个全序,这个操作称之为拓扑排序。
基础知识
一个较大的工程往往被划分成许多子工程,我们把这些子工程称作活动(activity)。在整个工程中,有些子工程(活动)必须在其它有关子工程完成之后才能开始,也就是说,一个子工程的开始是以它的所有前序子工程的结束为先决条件的,但有些子工程没有先决条件,可以安排在任何时间开始。为了形象地反映出整个工程中各个子工程(活动)之间的先后关系,可用一个有向图来表示,图中的顶点代表活动(子工程),图中的有向边代表活动的先后关系,即有向边的起点的活动是终点活动的前序活动,只有当起点活动完成之后,其终点活动才能进行。通常,我们把这种顶点表示活动、边表示活动间先后关系的有向图称做顶点活动网(Activity On Vertex network),简称AOV网。
一个AOV网应该是一个有向无环图,即不应该带有回路,因为若带有回路,则回路上的所有活动都无法进行。如图3-6是一个具有三个顶点的回路,由<A,B>边可得B活动必须在A活动之后,由<B,C>边可得C活动必须在B活动之后,所以推出C活动必然在A活动之后,但由<C,A>边可得C活动必须在A活动之前,从而出现矛盾,使每一项活动都无法进行。这种情况若在程序中出现,则称为死锁或死循环,是应该必须避免的。
在AOV网中,若不存在回路,则所有活动可排列成一个线性序列,使得每个活动的所有前驱活动都排在该活动的前面,我们把此序列叫做拓扑序列(Topological order),由AOV网构造拓扑序列的过程叫做拓扑排序(Topological sort)。AOV网的拓扑序列不是唯一的,满足上述定义的任一线性序列都称作它的拓扑序列。
拓扑排序基本步骤
由AOV网构造拓扑序列的拓扑排序算法主要是循环执行以下两步,直到不存在入度为0的顶点为止。
(1) 选择一个入度为0的顶点并输出之;
(2) 从网中删除此顶点及所有出边。
循环结束后,若输出的顶点数小于网中的顶点数,则输出“有回路”信息,否则输出的顶点序列就是一种拓扑序列。
拓扑排序完整C代码实现
/* AOV网的拓扑排序C代码 */
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#define MaxSize 20
typedef char VertexType;
typedef struct outNode { //定义出度的节点
VertexType data;
struct outNode *next;
}outNode;
typedef struct Vertex { //定义顶点结构
int in;
VertexType data;
outNode *first;
}Vertex;
//用邻接表法创建AOV网
void CreateAOV( Vertex **g )
{
VertexType ver;
int i = 0;
int VertexNum;
outNode *p, *q;
(*g) = (Vertex *)malloc(sizeof(Vertex)*MaxSize);
printf("请输入AOV网的顶点:\n");
while( '\n' != (ver=getchar()) ) { //存储网的顶点信息
(*g)[i].data = ver;
(*g)[i].first = NULL;
i++;
}
(*g)[i].data = '\0';
VertexNum = i; //记录顶点数
printf("请依次输入AOV网顶点的入度:\n");
for( i=0; i<VertexNum; i++ ) //存储顶点的入度信息
scanf("%d", &(*g)[i].in);
fflush(stdin);
printf("请输入AOV网顶点对应邻接点:\n");
for( i=0; i<VertexNum; i++ ) { //存储每个顶点的邻接点信息
printf("%c :", (*g)[i].data);
if( '\n' != (ver=getchar()) ) {
p = (outNode *)malloc(sizeof(outNode));
p->data = ver;
(*g)[i].first = p;
p->next = NULL;
q = p;
while( '\n' != (ver=getchar()) ) {
p = (outNode *)malloc(sizeof(outNode));
p->data = ver;
p->next = NULL;
q->next = p;
q = p;
}
}
}
}
//获取顶点数
int CalVerNum( Vertex *g )
{
int len = 0;
while( '\0' != (g++)->data )
len++;
return len;
}
//打印AOV网
void PrintAOV( Vertex *g )
{
int VertexNum = CalVerNum( g );
outNode *p;
printf("AOV的顶点、入度以及邻接点为:\n");
for( int i=0; i<VertexNum; i++ ) { //打印顶点
printf("%c %d ", g[i].data, g[i].in);
p = g[i].first;
while( NULL != p ) {
printf("%c ", p->data);
p = p->next;
}
printf("\n");
}
}
//拓扑排序函数
void TopSort( Vertex *g )
{
int i, j, k;
outNode *p;
int VertexNum = CalVerNum( g );
printf("拓扑排序后的序列为:\n");
for( i=0; i<VertexNum; i++ ) { //外循环用来控制输出的顶点数
for( j=0; j<VertexNum; j++ ) //内循环用来找到下一个入度为0的顶点
if( 0 == g[j].in ) {
printf("%c ", g[j].data);
g[j].in = -1;
p = g[j].first;
while( NULL != p ) { //删除所有从该顶点发出的全部有向边,具体就是逐个找到该顶点邻接点,然后将其入度-1
for( k=0; k<VertexNum; k++ )
if( p->data == g[k].data ) {
g[k].in--;
break;
}
p = p->next;
}
break;
}
}
printf("\n");
}
int main()
{
Vertex *g;
CreateAOV( &g );
PrintAOV( g );
TopSort( g );
return 0;
}
代码测试数据及测试结果
测试的有向无环图为:
其中在输入顶点的标识符时,字母之间无空格,输入完毕后,回车。
输入顶点的邻接点时,如该顶点为邻接点,直接回车即可。
输入顶点的入度时,每个数据之间空格隔开,全部输入完成后,回车即可。
将无环有向图转换为输入的数据表格
编号 | 入度 | 顶点 | 邻接点 |
0 | 0 | A | GC |
1 | 0 | B | CE |
2 | 2 | C | D |
3 | 2 | D | IF |
4 | 1 | E | DF |
5 | 2 | F | |
6 | 1 | G | H |
7 | 1 | H | I |
8 | 2 | I |
测试结果为:
测试通过。