第一次学习《算法导论》，按照读书的顺序将一些心得记录下来

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插入排序的简单C++实现：

#include <iostream>
using namespace std;

void insert_Sort(int a[], int length);

int main()
{
	const int n = 10;
	int a[n] = {1,3,5,7,9,0,2,4,6,8};
	insert_Sort(a, n);
	for(int i = 0; i < n; i++)
	{
		cout << a[i] << "\t";
	}
	cout << endl;
	return 0;
}

void insert_Sort(int a[], int length)
{
	for(int i = 1; i < length; i++)
	{
		int temp = a[i];
		int j = i - 1;
		while(j > -1 && a[j] > temp)
		{
			a[j + 1] = a[j];
			j--;
		}
		a[j + 1] = temp;
	}
}

循环不变式：

初始化：循环的第一次迭代之前，它为真。

保持：如果循环的某次迭代之前为真，那么下次迭代之前仍为真。

终止：在循环终止时，不变式为我们提供一个有用的性质，该性质有助于证明算法是正确的。

循环不变式应用于插入排序：

初始化：当循环开始之前（i=1的时候），有序组只有一项a[0]，所以，它为真。

保持：当前一次迭代为真时，本次迭代，将a[j]插入到a[0]至a[i-1]中的适当位置，是a[0]至a[i]成为有序组，使下一次迭代之前仍为真。

终止：外面的for循环的终止条件是i=length即下标超过数组长度。每次循环迭代i增加1，所以此时i=length，在循环不变式中将i用length代替，有子数组a[0..length-1]由原来在a[0..length-1]中的元素组成，但已经按序排列。因为子数组a[0..length-1]就是整个数组，所以整个数组已经排序，算法正确。

分析算法

最关心的：计算时间。

所用模型：RAM，单核，顺序执行，无并发

数据类型：整型，浮点，不太关心精度

灰色区域：未列出指令，例如指数运算等。

内存层级：一般不关心，但是特定算法影响重大。大多数情况不考虑也能很好的预测性能。

数学工具：组合数学、概率论、代数技巧等

描述方法：输入规模的函数

输入规模：每种算法的输入规模的描述不尽相同，需要指定

运行时间：用“步”描述，每步所需时间是常量，用ci表示

插入排序算法的分析

插入排序的运行时间

insert_Sort	代价	次数
for(int i = 1; i < length; i++)	c1	n
int temp = a[i];	c2	n-1
int j = i – 1;	c3	n-1
while(j > -1 && a[j] > temp)	c4	t2+…+tn
a[j + 1] = a[j];	c5	t2-1+…tn-1
j–;	c6	t2-1+…tn-1
a[j + 1] = temp;	c7	n-1

对于插入排序，它的运行时间就是：代价*次数的求和

从次数中可以看到，即使是确定了输入规模，次数也可能依据输入的不同而有所变化。

对于插入排序，如果输入已经排好序，则所需时间是n的线性函数，即Tn=an+b

如果输入是完全反序的，则所需时间是n的二次函数，即Tn=an^2+bn+c

最坏情况与平均情况分析

为什么分析最坏情况：

1.最坏情况给出了上界。

2.某些算法，最坏情况经常出现。

3.平均情况往往与最坏情况一样糟。

增长量级

只考虑公式中最重要的项，保留高阶，忽略低阶，忽略项系数。

如此，记插入算法的增长量级是：Θ(n^2)