赫赫有名的斐波那契数列：0，1，1，2，3，5，8，13，21...运用数学归纳法能够看出其规律为：f(n) = f(n-1) + f(n-2)。
递归
下面起首直接运用递归（JavaScript完成）来求解第 n 项：f(n)
// 直接运用递归
let num = 0; // 用来纪录fib函数实行次数，实行一次加一
function fib(n) {
num ++;
if(n === 0) {
return 0;
}
if(n === 1) {
return 1;
}
return fib(n-1) + fib(n-2);
}
console.time("time used");
console.log(`result is: ${fib(40)}`);
console.log(`fib() runned ${num} times`);
console.timeEnd("time used");以 n = 40 为例，这里我们纪录了 fib 函数统共挪用的次数以及运算统共耗时，效果以下：
能够看出，即使仅仅是盘算第 40 项，fib 函数挪用的次数高达3亿屡次，时候是2477ms。由于每一次 fib 函数的挪用都邑有两个子 fib 函数挪用，那末时候复杂度是 O(2^n) ，呈指数级增进，这明显不是一个好算法。怎样优化呢？以一个简朴的例子绘图剖析一下：
上图是 n = 5 时的递归树，能够看出虚线框中 f(2) 的盘算用到了三次，一样的 f(3) 的盘算用到了两次，明显我们实行了异常多的反复运算。那末很天然的想到，把每个状况的盘算效果都存起来，背面碰到雷同的状况就能够直接运用了。
影象化搜刮递归(自顶向下)
代码以下，这里第三行 new 了一个长度为 n+1 的数组，用于寄存 f(0) 到 f(n) 这 n+1 个状况的盘算效果：
// 影象化搜刮，纪录每次盘算的效果
let num = 0; // 用来纪录fib函数实行次数，实行一次加一
let totalnum = 40;
let memory = new Array(totalnum).fill(-1);
function fib(n) {
num++;
if(n === 0) {
return 0;
}
if(n === 1) {
return 1;
}
if(memory[n] === -1) {
memory[n] = fib(n-1) + fib(n-2); // 假如前面已取得，直接运用
}
return memory[n];
}
console.time("timer");
console.log(`result is: ${fib(totalnum)}`);
console.log(`fib() runned ${num} times`);
console.timeEnd("timer");一样 n = 40，效果以下：
能够看处出优化是非常可观的，纪录下每一次子挪用的效果，让算法复杂度从 O(2^n) 变成了 O(n)。这实在就是动态计划的头脑。什么是动态计划？
Dynamic programming is when you use past knowledge to make solving a future problem easier.(动态计划是用已知项去更好的求解未知项)
Dynamic programming is a technique used to avoid computing multiple time the same subproblem in a recursive algorithm.
将原题目拆解成多少子题目，同时保留子题目的答案，使得每个子题目只求解一次，终究取得原题目的答案。
以上是我看到的两个很好的定义。影象化搜刮递归求斐波那契数列明显是运用了动态计划的头脑，而且，这是一种自顶向下的求解体式格局（我们没有从最基本的题目最先求解，关于 f(n) = f(n-1) + f(n-2) ，先假定 f(n-1) 和 f(n-2) 是已知的）。别的我们能够采纳另一种自下向上的体式格局求解，即迭代，这也是一种动态计划的头脑。
迭代法(自下向上)
代码以下，我们运用迭代，f(2) = f(1) + f(0),f(3) = f(2) + f(1),...，明显这是一种从基本题目最先的自下向上的解决要领：
let num = 0;
function fib(n) {
num++;
let memory = new Array(n);
memory[0] = 1;
memory[1] = 1;
for(let i = 2; i <= n; i++) {
memory[i] = memory[i-1] + memory[i-2];
}
return memory[n];
}
console.time("timer");
console.log(`result is: ${fib(40)}`);
console.log(`fib() runned ${num} times`);
console.timeEnd("timer");效果以下，明显运用迭代的要领复杂度也为 O(n)：
小结
动态计划就是：将原题目拆解成多少子题目，同时保留子题目的答案，使得每个子题目只求解一次，终究取得原题目的答案。关于斐波那契数列的求解，有自顶向下的影象化搜刮递归和自下向上的迭代法，他们都运用了动态计划的头脑。
