96. Unique Binary Search Trees
题目
Given n, how many structurally unique BST's (binary search trees) that store values 1...n?
For example,
Given n = 3, there are a total of 5 unique BST's.
1 3 3 2 1
\ / / / \ \
3 2 1 1 3 2
/ / \ \
2 1 2 3
解析
- LeetCode96:Unique Binary Search Trees
- 给定一个序列1…..n，为了构造所有二叉树，我们可以使用1……n中的每一个数i作为根节点，自然1……(i-1)必然位于树的左子树中，(i+1)…..n位于树的右子树中。然后可以递归来构建左右子树，由于根节点是唯一的，所以可以保证构建的二叉树都是唯一的。
使用两个状态来记录：
G(n)：长度为n的序列的所有唯一的二叉树。
F(i,n)，1<=i<=n：以i作为根节点的二叉树的数量。
G(n)就是我们要求解的答案，G(n)可以由F(i,n)计算而来。
G(n)=F(1,n)+F(2,n)+…+F(n,n) (1)
G(0)=1,G(1)=1
对于给定的一个序列1…..n，我们取i作为它的根节点，那么以i作为根节点的二叉树的数量F(i)可以由下面的公式计算而来：
F(i,n)=G(i-1)*G(n-i) 1<=i<=n (2)
综合公式（1）和公式（2），可以看出：
G(n) = G(0) * G(n-1) + G(1) * G(n-2) + … + G(n-1) * G(0)
// 96. Unique Binary Search Trees
class Solution_96 {
public:
int numTrees(int n) {
//卡特兰数
long long ans = 1;
for (int i = n + 1; i <= 2 * n;i++)
{
ans = ans*i / (i-n);
}
return ans / (n + 1);
}
};