问题介绍
给定一个序列$X=<x_1,x_2,….,x_m>$，另一个序列$Z=<z_1,z_2,….,z_k>$满足如下条件时称为X的子序列：存在一个严格递增的X的下标序列${i_1,i_2,…,i_k}$，对所有的$j=1,2,…,k$满足$x_{i_j}=z_j.$
给定两个序列$X$和$Y$,如果$Z$同时是$X$和$Y$的子序列，则称$Z$是$X$和$Y$的公共子序列。最长公共子序列（LCS）问题指的是：求解两个序列$X$和$Y$的长度最长的公共子序列。例如，序列$X=\{A,B,C,B,D,A,B\}$和$Y=\{B,D,C,A,B,A\}$的最长公共子序列为$\{B,C,B,A\}$，长度为4。
本文将具体阐释如何用动态规划法（Dynamic Programming）来求解最长公共子序列（LCS）问题。
算法分析
1. LCS的子结构
给定一个序列$X=<x_1,x_2,….,x_m>$，对$i=0,1,…,m$，定义$X$的第i前缀为$X_i=<x_1,x_2,….,x_i>$,其中$X_0$为空序列。
（LCS的子结构）令$X=<x_1,x_2,….,x_m>$和$Y=<y_1,y_2,….,y_n>$为两个序列，$Z=<z_1,z_2,….,z_k>$为$X$和$Y$的任意LCS，则：
- 如果$x_m=y_n,$则$z_k=x_m=y_n$且$Z_{k-1}$是$X_{m-1}$和$Y_{n-1}$的一个LCS。
- 如果$x_m\neq y_n,$则$z_k \neq x_m$意味着$Z_{k-1}$是$X_{m-1}$和$Y$的一个LCS。
- 如果$x_m\neq y_n,$则$z_k\neq y_n$且$Z_{k-1}$是$X$和$Y_{n-1}$的一个LCS。
2. 构造递归解
在求$X=<x_1,x_2,….,x_m>$和$Y=<y_1,y_2,….,y_n>$的一个LCS时，需要求解一个或两个子问题：如果$x_m=y_n$，应求解$X_{m-1}$和$Y_{n-1}$的一个LCS，再将$x_m=y_n$追加到这个LCS的末尾，就得到$X$和$Y$的一个LCS；如果$x_m\neq y_n$，需求解$X_{m-1}$和$Y$的一个LCS与$X$和$Y_{n-1}$的一个LCS，两个LCS较长者即为$X$和$Y$的一个LCS。当然，可以看出，LCS问题容易出现重叠子问题，这时候，就需要用动态规划法来解决。
定义$c[i,j]$表示$X_i$和$Y_j$的LCS的长度。如果$i=0$或$j=0$，则$c[i,j]=0.$利用LCS的子结构，可以得到如下公式：
$$ c[i,j]=\left\{ \begin{array}{lr} 0,\qquad 若i=0或j=0\\ c[i-1, j-1]+1,\qquad 若i,j>0且x_i=y_j\\ \max(c[i, j-1], c[i-1, j]),\qquad 若i,j>0且x_i\neq y_j \end{array} \right. $$
3. 计算LCS的长度
计算LCS长度的伪代码为LCS-LENGTH. 过程LCS-LENGTH接受两个子序列$X=<x_1,x_2,….,x_m>$和$Y=<y_1,y_2,….,y_n>$为输入。它将$c[i, j]$的值保存在表$c$中，同时，维护一个表$b$，帮助构造最优解。过程LCS-LENGTH的伪代码如下：
LCS-LENGTH(X, Y):
m = X.length
n = Y.length
let b[1...m, 1...n] and c[0...m, 0...n] be new table
for i = 1 to m
c[i, 0] = 0
for j = 1 to n
c[0, j] = 0
for i = 1 to m
for j = 1 to n
if x[i] == y[j]
c[i,j] = c[i-1, j-1]+1
b[i,j] = 'diag'
elseif c[i-1, j] >= c[i, j-1]
c[i,j] = c[i-1, j]
b[i,j] = 'up'
else
c[i,j] = c[i, j-1]
b[i,j] = 'left'
return c and b4. 寻找LCS
为了寻找$X$和$Y$的一个LCS， 我们需要用到LCS-LENGTH过程中的表$b$，只需要简单地从$b[m, n]$开始，并按箭头方向追踪下去即可。当在表项$b[i,j]$中遇到一个’diag’时，意味着$x_i=y_j$是LCS的一个元素。按照这种方法，我们可以按逆序依次构造出LCS的所有元素。伪代码PRINT-LCS如下：
PRINT-LCS(b, X, i, j):
if i == 0 or j == 0
return
if b[i,j] == 'diag'
PRINT-LCS(b, X, i-1, j-1)
print x[i]
elseif b[i,j] == 'up':
PRINT-LCS(b, X, i-1, j)
else
PRINT-LCS(b, X, i, j-1)程序实现
有了以上对LCS问题的算法分析，我们不难写出具体的程序来实现它。下面将会给出Python代码和Java代码，供读者参考。
完整的Python代码如下：
import numpy as np
# using dynamic programming to solve LCS problem
# parameters: X,Y -> list
def LCS_LENGTH(X, Y):
m = len(X) # length of X
n = len(Y) # length of Y
# create two tables, b for directions, c for solution of sub-problem
b = np.array([[None]*(n+1)]*(m+1))
c = np.array([[0]*(n+1)]*(m+1))
# use DP to sole LCS problem
for i in range(1, m+1):
for j in range(1, n+1):
if X[i-1] == Y[j-1]:
c[i,j] = c[i-1,j-1]+1
b[i,j] = 'diag'
elif c[i-1,j] >= c[i, j-1]:
c[i,j] = c[i-1,j]
b[i,j] = 'up'
else:
c[i,j] = c[i,j-1]
b[i,j] = 'left'
#print(b)
#print(c)
return b,c
# print longest common subsequence of X and Y
def print_LCS(b, X, i, j):
if i == 0 or j == 0:
return None
if b[i,j] == 'diag':
print_LCS(b, X, i-1, j-1)
print(X[i-1], end=' ')
elif b[i,j] == 'up':
print_LCS(b, X, i-1, j)
else:
print_LCS(b, X, i, j-1)
X = 'conservatives'
Y = 'breather'
b,c = LCS_LENGTH(X,Y)
print_LCS(b, X, len(X), len(Y))输出结果如下：
e a t e 完整的Java代码如下：
package DP_example;
import java.util.Arrays;
import java.util.List;
public class LCS {
// 主函数
public static void main(String[] args) {
// 两个序列X和Y
List<String> X = Arrays.asList("A","B","C","B","D","A","B");
List<String> Y = Arrays.asList("B","D","C","A","B","A");
int m = X.size(); //X的长度
int n = Y.size(); // Y的长度
String[][] b = LCS_length(X, Y); //获取维护表b的值
print_LCS(b, X, m, n); // 输出LCS
}
/*
函数LCS_length：获取维护表b的值
传入参数： 两个序列X和Y
返回值： 维护表b
*/
public static String[][] LCS_length(List X, List Y){
int m = X.size(); //X的长度
int n = Y.size(); // Y的长度
int[][] c = new int[m+1][n+1];
String[][] b = new String[m+1][n+1];
// 对表b和表c进行初始化
for(int i=1; i<m+1; i++){
for(int j=1; j<n+1; j++){
c[i][j] = 0;
b[i][j] = "";
}
}
// 利用自底向上的动态规划法获取b和c的值
for(int i=1; i<m+1; i++){
for(int j=1; j<n+1; j++){
if(X.get(i-1) == Y.get(j-1)){
c[i][j] = c[i-1][j-1]+1;
b[i][j] = "diag";
}
else if(c[i-1][j] >= c[i][j-1]){
c[i][j] = c[i-1][j];
b[i][j] = "up";
}
else{
c[i][j] = c[i][j-1];
b[i][j] = "left";
}
}
}
return b;
}
// 输出最长公共子序列
public static int print_LCS(String[][] b, List X, int i, int j){
if(i == 0 || j == 0)
return 0;
if(b[i][j].equals("diag")){
print_LCS(b, X, i-1, j-1);
System.out.print(X.get(i-1)+" ");
}
else if(b[i][j].equals("up"))
print_LCS(b, X, i-1, j);
else
print_LCS(b, X, i, j-1);
return 1;
}
}输出结果如下：
B C B A 参考文献
- 算法导论（第三版） 机械工业出版社
- https://www.geeksforgeeks.org…
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