数据结构与算法之时间复杂度(笔记)

数据结构:

  • 定义:

     一门研究非数值计算的程序设计问题中的操作对象,以及它们之间的关系和操作等相关问题的学科。
    
  • 分类:

    逻辑结构:
    - 定义:
          - 数据对象中数据元素之间的相互关系。
    - 种类:
          - 集合结构
          - 线性结构
          - 树型结构
          - 网络结构
    

    物理结构:

    • 定义:
      – 数据的逻辑结构在计算机的存储形式。

算法:

  • 定义:

    指解题方案的准确而完整的描述,是一系列解决问题的清晰指令,算法代表着用系统的方法描述解决问题的策略机制。
    
  • 特征:
    – 输入项
    – 输出项
    – 有穷性
    – 确定性
    – 可行性

  • 设计要求:
    – 正确性
    – 可读性
    – 健壮性
    – 时间复杂度
    – 空间复杂度

  • 效率:
    – 度量方法:
    缺陷:事先编写好程序
    – 事前分析估计法:
    策略、代码质量、输入规模、执行指令

时间复杂度

  • 定义:
    – 算法的时间复杂度是一个函数,它定量描述了该算法的运行时间。这是一个关于代表算法输入值的字符串的长度的函数。时间复杂度常用大O符号表述,不包括这个函数的低阶项和首项系数。

  • 计算方法:
    – 在进行算法分析时。语句总的执行次数T(n)是关于问题规模n的函数,进而分析T(n)随n的变化情况并确定数量级。算法的时间复杂度,也就是算法的时间度量记作:T(n) = O( f(n) )。它表示随问题规模n的增大,算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同。其中f(n)是问题规模n的某个函数。

    - 一般情况下,随着输入规模n增大,T(n)增长最慢的算法为最优算法。 
    
  • 攻略:
    – 用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
    – 在修改后的运行次数函数中,只保留最高阶项。
    – 如果最高项存在且不为1,则去除与这个项相乘的常数。
    – 得到的最后结果就是大O阶。

举例:
  • 常数阶
int sum = 0, n =100;

printf("This a test!");

printf("This a test too!");

sum = (1+n)*n/2;

//时间复杂度为:O(1)
  • 线性阶
    • 一般含有非嵌套循环涉及线性阶,线性阶就是随问题规模n的矿大,对应计算次数呈直线增长。
int i, n = 100, sum = 0;

for(i = 0; i < n; i++){

sum = sum + i;

}

//时间复杂度为:O(n)
  • 平方阶
int i, j, n = 100;

for(i = 0; i < n; i++){
    
    for(j = 0; j < n; j++){
        printf("This a second test!");      
    }
}

//时间复杂度为:O(n^ 2)
- 理解:

   n 等于 100 时,即外层循环每执行一次,内层循环就执行 100 次,从程序退出来,需要执行 100*100 次,即 n^2 所以这段代码的时间复杂度为O(n^ 2)。
   
- 总结:
  
  循环的时间复杂度等于循环体的复杂度乘以该循环运行次数。
int i, j, n = 100;

for( i = 0; i < n; i++){

    for( j = i; j < n; j++){
        
        printf("This a third test!");
        
    }
}

//时间复杂度为:O(n^ 2)
- 分析:

  当 i = 0 时,内循环执行 n 次,当 i = 1 时,内循环执行 n - 1 次......当 i = n -1 时,内循环执行 1 次,总的执行次数为:
  - n + (n -1) + (n -2) + (n -3) + (n -4) +......+1 = n*(n + 1)/2
  • 对数阶
int i = 1, n = 100;

while(i < n){
    
    i = i * 2;
}

//时间复杂度为:O(log n )
- 分析:
   由于每次 i * 2 之后,距离 n 更近一步,假设有 x 个 2 相乘大于或等于 n 则退出循环
   2 ^ x = n
   x = log2^n
  • 函数调用时间复杂度
int i, j;

for( i = 0; i < n; i++ ){

function(i);
}

void function(int count){

printf("%d",count);
}

//function函数的时间复杂度为:O(1)
//整体的时间复杂度为:O(n)

//假设:
void function(int count){

    int j;

    for( j = count; j < n; j++){
        printf("%d",j);
    }
}

//时间复杂度为:O(n ^ 2)

常见时间复杂度:

表达式时间复杂度类型
2017428O(1)常数阶
3n+4O(n)线性阶
3n^2+4n+5O(n^2)平方阶
3log2^n + 4O(logn)对数阶
2n+2n^2+4n+6O(nlogn)nlogn阶
n3+2n2+4n+6O(n^3)立方阶
2^nO(2^n)指数阶
  • 常用时间复杂度所消耗的时间从小到大排序:

    O(1) < O(logn)<O(n)<O(nlogn)<O(n^2)<O(n3)<O(2^n)<O(n!)<O(n^n)

    原文作者:iStorm
    原文地址: https://www.jianshu.com/p/c019709ece36
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