依然延续第一篇读书笔记，这一篇是基于《ACM/ICPC 算法训练教程》上关于线段树的讲解的总结和修改(这本书在线段树这里Error非常多)，但是总体来说这本书关于具体算法的讲解和案例都是不错的。
线段树简介 这是一种二叉搜索树，类似于区间树，是一种描述线段的树形数据结构，也是ACMer必学的一种数据结构，主要用于查询对一段数据的处理和存储查询，对时间度的优化也是较为明显的，优化后的时间复杂为O(logN）。此外，线段树还可以拓展为点树，ZWK线段树等等，与此类似的还有树状数组等等。
例如：要将数组s[]从[i,j]段上的元素均加上b，那么我们通常需要遍历每个元素(s[i],s[i+1]…s[j])并+b，此时使用的操作数为(j-i+1)次，但如果我们在某些情况下只关心[i,j]段内的总和呢，此时我们只需在[i,j]段内总和sum的基础上+b*(j-i+1)就行了，这样的操作数只需要一次。
再者，若想知道[i,j]段内的和，直接输出此前存储的总和sum，这样比每次查询时都要遍历(j-i+1)个元素要好得多，因此参照树形结构可以引入一种表示一条线段上数据的结构。
用数组模拟树可以直观表述线段树如右图：
具体实现和相应改进Code：
定义
每个结点的定义可以暂时如下：
struct Node{ int l, r; //左右端点坐标 int value; //值 }tree[MAXN];
上面是一种简单直接的表示，但是对于需要经常更新数值的线段树来说，这种定义让线段树的时间优化变得优势全无。
因为如果对每一个[i,j]内的线段上每一个元素+b时，作为一段数据，我们可以+b*(j-i+1)，但这一段的子树上的数据又该如何表示呢，难道一直遍历下去直到所有子结点遍历完并更新其中的数据嘛，这明显是个很愚蠢的做法，这样做会使得线段树的效率下降不少。
我们在结点的定义上引入一个增量add(初始为0)，使得每次更新数据时，在该结点及其子树全部更新数据后，再在该结点的增量add上+b，这样在每次查询或更新到它的子结点时，必然会遍历到该结点，此时查询该结点的add是否为0，如果不为0，则将add的值向下传递，更新子树结点上的value。（在需要时才进行更新是一个很好的算法优化）
因此我们可以改进上面关于结点的定义,最终定义如下：
1 /*Tree*/ 2 struct Node{ 3 int l, r; //左右端点坐标 4 int value; //值 5 int add; //子树各结点应add的值 6 }tree[MAXN];
搭建
那么我们该如何搭建一个线段树呢，我们利用树形结构的思想，不断得二分得到左儿子和右儿子。原结点的value就靠左右儿子的value相加得到。
具体如下：
1 /*从x结点开始扩展线段树*/ 2 void build(int x, int l, int r) 3 { 4 tree[x].l = l; 5 tree[x].r = r; 6 if (l == r){ 7 tree[x].value = source[l]; 8 return; 9 } 10 int mid = (l + r) / 2; 11 build(x * 2, l, mid); 12 build(x * 2 + 1, mid + 1, r); 13 tree[x].value = tree[2 * x].value + tree[2 * x + 1].value; 14 tree[x].add = 0; 15 }
更新
此处开始对书上的Code做了修改和改进。
那么为了进行一段数据上数据的更新，我们在上面已经引入了add增量表示，具体做法如下：
1 /*更新-在[l,r]线段上加上m*/ 2 void update(int x, int l, int r, int m) 3 { 4 // update 5 tree[x].value += m*(r - l + 1); 6 // Hit! 7 if (tree[x].l == l && tree[x].r == r){ 8 tree[x].add += m; 9 return; 10 } 11 // add - Transfer 12 if (tree[x].add){ 13 tree[2 * x].add += tree[x].add; 14 tree[2 * x].value += tree[x].add*(tree[2 * x].r - tree[2 * x].l + 1); 15 tree[2 * x + 1].add += tree[x].add; 16 tree[2 * x + 1].value += tree[x].add*(tree[2 * x + 1].r - tree[2 * x + 1].l + 1); 17 tree[x].add = 0; 18 } 19 // continue - Search 20 int mid = (tree[x].l + tree[x].r)/2; 21 if (r <= mid) //[l,r]在mid右侧 22 update(2 * x, l, r, m); 23 else if (l >= mid) //[l,r]在mid左侧 24 update(2 * x + 1, l, r, m); 25 else{ //[l,r]横跨mid 26 update(2 * x, l, mid, m); 27 update(2 * x + 1, mid + 1, r, m); 28 } 29 }
查询
也就是查询某段上的数据value
1 //最终查询值 2 int ans = 0; 3 /*查询*/ 4 void query(int x, int l, int r) 5 { 6 // Hit! 7 if (tree[x].l == l && tree[x].r == r) 8 { 9 ans += tree[x].value; 10 return; 11 } 12 // add - Transfer 13 if (tree[x].add){ 14 tree[2 * x].add += tree[x].add; 15 tree[2 * x].value += tree[x].add*(tree[2 * x].r - tree[2 * x].l + 1); 16 tree[2 * x + 1].add += tree[x].add; 17 tree[2 * x + 1].value += tree[x].add*(tree[2 * x + 1].r - tree[2 * x + 1].l + 1); 18 tree[x].add = 0; 19 } 20 // continue - Search 21 int mid = (tree[x].l + tree[x].r)/2; 22 if (r <= mid) //[l,r]在mid左侧 23 query(2 * x, l, r); 24 else if (l >= mid) //[l,r]在mid右侧 25 query(2 * x + 1, l, r); 26 else{ //[l,r]横跨mid 27 query(2 * x, l, mid); 28 query(2 * x + 1, mid + 1, r); 29 } 30 }
Ps：另外对于一个源数组source[MAX],线段树往往所需的空间要稍大一点，大约为4*MAX.
最少需要空间为2*MAX，最多需要空间为4*MAX
在POJ上有一个裸线段树例题—POJ3468
题目大意就是给一个区间上的sum进行两个操作-1,查询，2,区间上每个点完成一次加法。
1 //线段处理-线段树 2 //在一个区间内处理数据的加减和查询-裸线段树 3 //Memory:6732K Time:1579Ms 4 #include<iostream> 5 #include<cstdio> 6 #include<cstring> 7 using namespace std; 8 9 #define MAX 100005 10 11 int n, q; //n:原数据量 q:查询量 12 int s[MAX]; //source date 13 __int64 ans; //查询结果 14 15 /*interval_tree*/ 16 struct Node{ 17 int l, r; 18 __int64 value; 19 __int64 add; 20 }tr[4*MAX]; //线段树最少需要2*MAX，最多需要4*MAX 21 22 /*搭建interval-tree*/ 23 void build(int x,int l,int r) 24 { 25 tr[x].l = l; 26 tr[x].r = r; 27 if (tr[x].l == tr[x].r){ //规模缩减到单个数据 28 tr[x].value = s[l]; 29 return; 30 } 31 int mid = (l + r) / 2; 32 build(2 * x, l, mid); 33 build(2 * x + 1, mid + 1, r); 34 tr[x].value = tr[2 * x].value + tr[2 * x + 1].value;//该结点value由子树结点决定 35 tr[x].add = 0; //Init 36 } 37 38 /*更新-从x向下扩展每个结点+m*/ 39 void update(int x,int l,int r,int m) 40 { 41 // update 42 tr[x].value += m*(r - l + 1); 43 // Hit 44 if (tr[x].l == l && tr[x].r == r){ 45 tr[x].add += m; 46 return; 47 } 48 // add - transfer 49 if (tr[x].add){ 50 tr[2 * x].add += tr[x].add; 51 tr[2 * x + 1].add += tr[x].add; 52 tr[2 * x].value += tr[x].add*(tr[2 * x].r - tr[2 * x].l + 1); 53 tr[2 * x + 1].value += tr[x].add*(tr[2 * x + 1].r - tr[2 * x + 1].l + 1); 54 tr[x].add = 0; 55 } 56 // Search 57 int mid = (tr[x].r + tr[x].l) / 2; //该段中点 58 if (r <= mid) 59 update(2 * x, l, r, m); 60 else if (l > mid) 61 update(2 * x + 1, l, r, m); 62 else{ 63 update(2 * x, l, mid, m); 64 update(2 * x + 1, mid + 1, r, m); 65 } 66 } 67 68 /*查询-interval-date*/ 69 void query(int x,int l,int r) 70 { 71 // Hit 72 if (tr[x].l == l && tr[x].r == r){ 73 ans += tr[x].value; 74 return; 75 } 76 // add - transfer 77 if (tr[x].add){ 78 tr[2 * x].add += tr[x].add; 79 tr[2 * x + 1].add += tr[x].add; 80 tr[2 * x].value += tr[x].add*(tr[2 * x].r - tr[2 * x].l + 1); 81 tr[2 * x + 1].value += tr[x].add*(tr[2 * x + 1].r - tr[2 * x + 1].l + 1); 82 tr[x].add = 0; 83 } 84 // Search 85 int mid = (tr[x].r + tr[x].l) / 2; //该段中点 86 if (r <= mid) 87 query(2 * x, l, r); 88 else if (l > mid) 89 query(2 * x + 1, l, r); 90 else{ 91 query(2 * x, l, mid); 92 query(2 * x + 1, mid + 1, r); 93 } 94 } 95 96 int main() 97 { 98 scanf("%d%d", &n, &q); 99 for (int i = 1; i <= n; i++) 100 scanf("%d", &s[i]); 101 build(1, 1, n); //Creat_interval tree 102 while (q--) 103 { 104 char ch; //command 105 int low, high, dig; 106 scanf("\n%c", &ch); 107 if (ch == 'C'){ 108 scanf("%d%d%d", &low, &high, &dig); 109 update(1, low, high, dig); 110 } 111 else if (ch == 'Q'){ 112 ans = 0; 113 scanf("%d%d", &low, &high); 114 query(1, low, high); 115 printf("%I64d\n", ans); 116 } 117 } 118 119 return 0; 120 }
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